Considere um sistema massa-mola sem amortecimento em repouso submetido a um impulso unitário no instante t = 0 e a outro impulso unitário no instante t   = π ω 0 . A posição da massa neste sistema pode ser dada pela solução do PVI

u ' ' + ω 0 2 u = 1 m δ t + δ t - π ω 0 u 0 = u ' 0 = 0

Determine a função u(t) explicitamente e interprete o resultado obtido.

Passo 1

Olá meu amigo, tudo bem? Espero que sim pois agora iremos resolver umas queridas EDOs. Aqui o que iremos fazer é resolver essas EDOs por Laplace, pois é muito mais facil, rapido e prático. Pelo menos eu tenho essa impressão. O que iremos fazer aqui é passar tudo para o domínio da frequência, e após encontrarmos nossa solução é que iremos voltar para o domínio do tempo por meio da transformada inversa. Iremos utilizar bastante a tabela de Laplace então é bom que voce tenha uma dessas em mãos.

Chame de

u t = U s

E das propriedades de derivação das transformadas

d U d t = s U s - u 0 - = s U s

E para

d 2 u d t 2 = s 2 U s - s u 0 - - u ' 0 - = s 2 U s - 0 - 0

Agora precisamos encontrar a transformada para

x t = δ t + δ t - π ω 0

X s = 1 + e - π ω 0 s

Passo 2

Substituindo o que encontramos na EDO

s 2 U s + ω 0 2 U s = 1 m 1 + e - π ω 0 s

U s s 2 + ω 0 2 = 1 m 1 + e - π ω 0 s

Isolando U s

U s = 1 m s 2 + ω 0 2 1 + e - π ω 0 s

Agora o que devemos fazer é calcular a inversa de Laplace de U ( s )

Passo 3

U s = 1 + e - π ω 0 s m s 2 + m ω 0 2

U s = 1 m s 2 + m ω 0 2 + e - π ω 0 s m s 2 + m ω 0 2

Iremos calcular a inversa por primeiro para a primeira equação

L - 1 1 m s 2 + m ω 0 2 = 1 m s 2 + ω 0 2 = 1 m ω 0 sin ⁡ ω 0

E para a segunda equação

L - 1 e - π ω 0 s m s 2 + m ω 0 2 = e - π ω 0 s m s 2 + ω 0 2

Por conta de e - π ω 0 s temo que H t - π ω 0 , a função impulso unitário, multiplicará toda a transformada inversa e gerara um adiantamento de toda nossa função no domínio do tempo, o que nos sobra então é a inversa que já calculamos porem adiantada

L - 1 1 m s 2 + m ω 0 2 = 1 m s 2 + ω 0 2 = 1 m ω 0 sin ⁡ t - π ω 0

E então

u t = 1 m ω 0 sin ⁡ ω 0 H ( t ) + 1 m ω 0 sin ⁡ t - π ω 0 H t - π ω 0

Resposta

u t = 1 m ω 0 sin ⁡ ω 0 H ( t ) + 1 m ω 0 sin ⁡ t - π ω 0 H t - π ω 0

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