Resolva as EDO´s homogêneas

y ' '   - 2 y ' = e 2 t + t 2 - 1

y ( 0 ) = 1 / 8

y ' ( 1 ) = 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 2. Dessa vez estaremos trabalhando com EDO homogênea de segunda ordem. com condições iniciais Queremos resolver uma EDO da forma

a y ' '   +   b y '   + c y   = f ( t )

y ( z ) = Z

y ' ( w ) = W

Z , W   ∈ R

Lembram como fazemos isso?

Primeiro, precisamos das raízes do polinômio característico da equação. Esse polinômio é dado por

a r 2 + b r + c

Agora vamos supor que as raízes do polinômio são r 1 e r 2 .

Então, a solução da equação homogênea é:

y ( t )   =   A e r 1 t + B e r 2 t

se r 1 ≠ r 2

y ( t )   =   A e r 1 t + B t e r 1 t

se r 1 = r 2

se r 1 = a + i b

r 2 = a - i b

então

y ( t )   =   e a t ( A c o s ( b t ) + B s i n ( b t ) )

Caso esteja curioso, Esses resultados surgem ao supormos que y ( t ) é da forma e r t

Agora que sabemos a solução da EDO homogênea, precisamos encontrar as constantes A   e   B .

Vamos obter a solução particular, e depois usar os valores iniciais para calcular A   e   B

Vamos resolver nossa questão:

Passo 2

Construindo o polinômio característico da EDO

y ' '   - 2 y ' = e 2 t + t 2 - 1

y ( 0 ) = 1 / 8

y ' ( 1 ) = 0

Temos:

r 2 - 2 r = 0

Logo

r 1 = 0

r 2 = 2

Pelo passo 1. A solução é da forma:

y ( t )   =   A e r 1 t + B e r 2 t

=   A + B e 2 t

Passo 3

Vamos obter a solução particular de

y ' '   - 2 y ' = e 2 t + t 2 - 1

y ( 0 ) = 1 / 8

y ' ( 1 ) = 0

Como temos

y ' '   - y ' = e 2 t + t 2 - 1

Vamos supor que a solução particular é da forma

C 1 t e 2 t + C 2 t 2 + C 3 t + C 4 + C 5 t 3

estamos supondo que C 1 t e 2 t está na solução particular pois já temos e 2 t na solução homogênea

substituindo na edo temos:

( 2 C 1 e 2 t + 2 C 1 e 2 t + 4 C 1 t e 2 t + 2 C 2 + 6 C 5 t ) - 2 ( C 1 e 2 t + 2 C 1 t e 2 t + 2 C 2 t + C 3 + 3 C 5 t 2 ) = e 2 t + t 2 - 1

Casando os termo, temos que

2 C 1 = 1

2 C 2 - 2 C 3 = - 1

6 C 5 - 4 C 2 = 0

- 6 C 5 = 1

Logo, temos que

C 1 = 1 / 2

C 2 = - 1 / 4

C 3 = 1 / 4

C 4 ∈ R ,   n e s s e   c a s o ,   f a r e m o s   C 4 = 0

C 5 = - 1 / 6

Logo, descobrimos que a solução particular é:

y p ( t ) = t e 2 t / 2 - t 2 / 4 + t / 4 - t 3 / 6

Dessa forma, a solução geral da EDO é:

y h ( t ) + y p ( t ) = A + B e 2 t + t e 2 t / 2 - t 2 / 4 + t / 4 - t 3 / 6

Passo 4

Agora que sabemos que

y ( t ) =   A + B e 2 t + t e 2 t / 2 - t 2 / 4 + t / 4 - t 3 / 6

Vamos usar as informações que

y ( 0 ) = 1 / 8

y ' ( 1 ) = 0

Para descobrirmos as constantes. Da primeira condição, temos que

y ( 0 ) =   A + B = 1 / 8

Da segunda que

y ' t = 2 B e 2 t + e 2 t 2 + t e 2 t - t 2 + 1 4 - t 2 2 = 0

y ' 1 = 2 B e 2 + e 2 2 + e 2 - 1 2 + 1 4 - 1 2 2 = 0

y ' 1 = 2 B e 2 + e 2 2 + e 2 - 1 + 1 4 = 0

2 B e 2 + e 2 2 + e 2 - 1 + 1 4 = 0

B 2 e 2 + e 2 2 + e 2 - 1 + 1 4 = 0

E disso, temos que:

A + B = 1 8

B = 3 4 3 e 2 = 1 4 e 2

A = 1 8 - 1 4 e 2

A = 1 8 - 1 4 e 2 = e 2 - 2 8 e 2

Ou seja, nossa solução é:

y t = A + B e 2 t + t e 2 t 2 - t 2 4 + t 4 - t 3 6

y t = e 2 - 2 8 e 2 + 1 4 e 2 e 2 t + t e 2 t 2 - t 2 4 + t 4 - t 3 6

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

y t = e 2 - 2 8 e 2 + 1 4 e 2 e 2 t + t e 2 t 2 - t 2 4 + t 4 - t 3 6

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Calcule a e b:f ) ((i + 1)^2)/((i - 1)^2) = a + b i
Considere o problema de valor inicial 2 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0 , y 0 = 1 , y ' 0 = - α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Faça o gráfico da solução em α = 1 . Encontre as coordenadas t
Resolva a equação diferencial.2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível.y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2