Resolva as seguintes equações de ordem maior que 2 :

(b) y ( 3 ) + y ' ' - y ' - y = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente resolver a EDO de ordem maior que 2 , no caso, de quarta ordem. Pra isso, o procedimento é bem parecido com a resolução de EDO de segundo grau, basta a gente encontrar a equação característica associada e resolvê-la.

Assim, para uma EDO do tipo:

a n y ( n ) + a n - 1 y n - 1 + … + a 3 y ' ' ' + a 2 y ' ' + a 1 y ' + a 0 y = 0

Montaremos a equação auxiliar:

a n r n + a n - 1 r n - 1 + … + a 3 r 3 + a 2 r 2 + a 1 r + a 0 = 0

Encontraremos as raízes dessa equação e para cada uma dela vamos escrever uma solução do tipo y = e r x . A soma dos y k nos dá a solução geral:

y x = y 1 + y 2 + y 3 + … + y n - 1 + y n

Vamos lá!

Passo 2

Nossa EDO é dada por:

y ( 3 ) + y ' ' - y ' - y = 0

Escrevendo sua equação auxiliar, temos:

r 3 + r 2 - r - 1 = 0

Agora vamos fatorar a equação pra conseguir achar suas raízes:

r + 1 2 r - 1 = 0

Pra que esse produto seja verdadeiro um dos termos precisa ser zero. Assim, temos:

r + 1 2 = 0 → r = - 1

r - 1 = 0 → r = 1

Para o segundo termo, nossa solução é do tipo y 1 = c 1 e x . E como o primeiro termo tem multiplicidade 2 , a solução de cada uma será:

y 2 = c 2 e - x

y 3 = c 3 x e - x

E juntanto tudo, temos nossa solução geral:

y x = c 1 e x + c 2 e - x + c 3 x e - x

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y x = c 1 e x + c 2 e - x + c 3 x e - x

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