Nos exercícios 1 a 18 encontre todas as soluções da EDO.

y ' = 1 + x + y 2 + x y 2

Passo 1

Temos o y ' sozinho aqui do lado esquerdo. Podemos reescrever na forma

d y d x = 1 + x + y 2 + x y 2  

Será que é uma EDO separável?

Para saber, precisamos tentar colocar tudo que é x de um lado e tudo que é y do outro. Começamos colocando o y 2 em evidência:

d y d x = 1 + x + y 2 + x y 2  

d y d x = 1 + x + y 2 1 + x

Agora conseguimos colocar 1 + x em evidência: d y d x = 1 + x 1 + y 2

Passo 2

Agora podemos colocar tudo que for y de um lado e tudo que for x do outro:

d y 1 + y 2 = 1 + x d x

E podemos integrar isso aí:

∫ d y 1 + y 2 = ∫ 1 + x d x

Show. Vamos calcular essas integrais aí. A primeira é a integral fundamental do arco tangente:

∫ d y 1 + y 2 = arctg ⁡ y + C 1

A segunda é uma integral de polinômio: ∫ 1 + x d x = x + x 2 2 + C 2

Passo 3

Agora substituímos na expressão:

arctg ⁡ y + C 1 = x + x 2 2 + C 2

E definimos C ≔ C 2 - C 1 para ficar mais bonitinho: arctg ⁡ y = x + x 2 2 + C

E podemos deixar a solução assim mesmo. 😊

Resposta

arctg ⁡ y = x + x 2 2 + C

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y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du