Frequentemente, uma pequena mudança na condição inicial ou na equação diferencial, geram uma mudança radical na solução da equação diferencial. Nos problemas de (a) até (d), encontre uma solução explícita para o problema de valor inicial dado, trace um gráfico da solução encontrada e compare cada curva da solução em uma vizinhança de (0;1).

d ) d y d x = y - 1 2 - 0,01   ,   y 0 = 1

Passo 1

E aí, tudo bem? Essa questão é o começo de uma longa lista, e vou te ajudar em cada uma das questões! Começando por essa edo bonitinha

d y d x = y - 1 2 - 0,01   ,   y 0 = 1

Vamos relembrar a técnica de resolução que já conhecemos:

  • Variáveis separáveis: para aplicar esse método precisamos jogar tudo que envolve x para um lado, tudo que envolve y para o outro e integrar!

Como podemos separar de um lado tudo que tem x , e para outro tudo que tem y , então é esse o método certo! E depois? Bom, esse é um problema de valor inicial, então achada a solução, precisamos ainda aplicar a condição dada para achar a constante!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de variáveis separáveis, precisamos jogar tudo que tem x para um lado e tudo que tem t do outro e integrar!

d y d x = y - 1 2 - 0,01  

d y y - 1 2 - 0,01 = d x

Tudo bem até aqui?

Integrando temos

∫ d y y - 1 2 - 0,01 = ∫ d x

Fazendo a integração por um programa encontramos

y - 1 y 2 - 2 y + 0,99 - 5 ln ⁡ 1 0,1 y - 1 + 1 - 0,5 y - 0,9 + 5 ln ⁡ 1 0,1 y - 1 - 1 - 0,5 y - 1,1 = x + c

Uma coisa terrível!

Podemos comparar com a solução da equação

d y d x = y - 1 2 + 0,01   ,   y 0 = 1

Encontramos uma muito mais simpática!

y = 1 10 tan ⁡ x 10 + 1

Apenas trocando o sinal do 0,01 !

E é isso! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

y - 1 y 2 - 2 y + 0,99 - 5 ln ⁡ 1 0,1 y - 1 + 1 - 0,5 y - 0,9 + 5 ln ⁡ 1 0,1 y - 1 - 1 - 0,5 y - 1,1 = x + c

Exercícios de Livros Relacionados

De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é F = m g R 2 x + R 2 onde x
y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du