Nos problemas de (a) até (d), encontre uma solução para o problema de valor inicial dado

a ) d x d t = 4 x 2 + 1 ,   x π 4 = 1

Passo 1

E aí, tudo bem? Essa questão é o começo de uma longa lista, e vou te ajudar em cada uma das questões! Começando por essa edo bonitinha

d x d t = 4 x 2 + 1 ,   x π 4 = 1

Vamos relembrar a técnica de resolução que já conhecemos:

  • Variáveis separáveis: para aplicar esse método precisamos jogar tudo que envolve x para um lado, tudo que envolve y para o outro e integrar!

Como podemos separar de um lado tudo que tem x , e para outro tudo que tem t , então é esse o método certo! E depois? Bom, esse é um problema de valor inicial, então achada a solução, precisamos ainda aplicar a condição dada para achar a constante!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de variáveis separáveis, precisamos jogar tudo que tem x para um lado e tudo que tem t do outro e integrar!

d x d t = 4 x 2 + 1

d x x 2 + 1 = 4 d t

Tudo bem até aqui?

Integrando temos

d x x 2 + 1 = 4 d t

∫ d x x 2 + 1 = ∫ 4   d t

arctan ⁡ x = 4 t + C

Passo 3

Agora por fim aplicar a condição inicial para achar aquele C

Do passo anterior

arctan ⁡ x = 4 t + C

Do enunciado temos x π 4 = 1 , daí

arctan ⁡ 1 = 4 . π 4 + C

π 4 = π + C

C = - 3 π 4

Beleza?

Aí nossa solução fica assim:

arctan ⁡ x = 4 t - 3 π 4

x = sin ⁡ 4 t - 3 π 4

E é isso! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

x = sin ⁡ 4 t - 3 π 4

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De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é F = m g R 2 x + R 2 onde x
y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du