Acredita-se que alguma estrelas de nêutrons (estrelas extremamente densas) estão girando a cerca de 1   r e v / s . Se uma dessas estrelas têm um raio de 20   k m , qual deve ser, no mínimo, a sua massa para que uma partícula na superfície da estrela permaneça no lugar apesar da rotação?

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

Temos aqui uma estrela de nêutrons rotacionando com uma frequência altíssima de f = 1   r e v / s , essa estrela tem um raio de r =   20   k m . O exercício pede para que encontremos a sua massa M , de forma que uma partícula qualquer na superfície não seja arremessada para fora pela sua própria inércia (Força Centrífuga). Como fazemos isso?

Precisamos que a massa da estrela seja suficiente de forma que a força gravitacional evite que a inércia arremesse a partícula, em termos matemáticos, isso é obtido resolvendo a seguinte igualdade

| F c → | = | F g → |

ou seja, igualando o módulo da força centrípeta com o módulo da força gravitacional. Já que a força centrífuga surge devido ao referencial acelerado gerado pela força centrípeta! Bora começar a fazer as continhas!

Passo 2

A fórmula da força centrípeta nos permite escrever

| F c → | = m   v 2 r

em que m é a massa da partícula. Podemos usar também uma relação entre a velocidade linear v e a velocidade angular ω como

v = ω   r

de forma que obtemos

| F c → | = m   ω 2 r

Usando então a lei da gravitação universal de Newton, temos que

| F g → | = G M m r 2

e, a nossa igualdade se torna

G M m r 2 = m   ω 2 r

Vamos usar isso para encontrar a massa de nossa estrela! Saca só!

Passo 3

Isolando a massa M na expressão obtida no último passo, temos que

M = ω 2 r 3 G = ( 2 π   r e v / s ) 2 ( 20 × 1 0 3   m ) 3 ( 6,674 × 1 0 - 11   N   m 2 / k g 2 )

note que usei ω = 2 π   f , já que estamos interessados na sua velocidade angular, e não em sua frequência. Avaliando o cálculo acima, temos que

ou simplesmente

M ≈ 4,7 × 1 0 24   k g

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

M ≈ 4,7 × 1 0 24   k g

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