A figura 2 mostra uma cavidade esférica no interior de uma esfera de chumbo de raio R = 4,00   c m ; a superfície da cavidade passa pelo centro da esfera e “toca” o lado direito da esfera. A massa da esfera antes de ser criada a cavidade era M = 2,95   k g . Com que força gravitacional a esfera de chumbo com a cavidade atrai uma pequena esfera de massa m = 0,431   k g que se encontra a uma distância d = 9,00   c m do centro da esfera de chumbo, sobre a reta que liga os centros das esferas e o centro da cavidade?

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Esse é um problema clássico! Temos uma esfera de raio R = 4,00   c m = 4 × 1 0 - 2   m com uma cavidade, esse objeto exerce uma força gravitacional sobre uma partícula de massa m = 0,431   k g . Originalmente, a nossa esfera tinha uma massa M = 2,95   k g , e a partícula está a uma distância d = 9,00   c m = 9 × 1 0 - 2   m . O esquema é o seguinte

Okay, mas e como calculamos essa força gravitacional? O segredo aqui está em usar o Teorema das Cascas para a gravitação e o teorema da superposição! Saca só!

Passo 2

Se tivéssemos uma esfera cheia de raio R , o teorema das cascas diz que poderíamos tratar essa esfera como uma partícula de massa M , portanto, a força gravitacional seria a força gravitacional entre duas partículas, dada por

F g → = - G M m d 2   x ^

Mas, não temos uma esfera cheia! De nossa esfera cheia foi arrancada uma outra esfera. Quanta força gravitacional era relativa a essa esfera retirada? Considerando que arrancamos uma esfera de raio r = R / 2 , a distância do centro da cavidade até a partícula m é dada por d ' = d - R / 2 , e portanto, a força gravitacional é dada por

F → c = - G M c m ( d - R / 2 ) 2 x ^

O princípio da superposição, nos garante então que, a força gravitacional total será dada por

F → g = - G M ' m d 2 x ^ - [ - G M c m ( d - R / 2 ) 2 ]

Note que tive que subtrair o valor, pois em nosso problema, a cavidade é uma esfera que foi removida, portanto, a força gravitacional que ela faria, ela não faz mais! Ainda precisamos encontrar a massa M c , bora lá!

Passo 3

Se essa é uma esfera uniforme, temos que a massa é igualmente distribuída pela esfera, portanto, temos que

ρ = M V = M c V c

em que ρ é a densidade da esfera. Usando que o volume da cavidade é dado por

V c = 4 π 3 ( R 2 ) 3 = π R 3 6

e, como o volume da esfera original é V = 4 3 π R 3 , temos que a massa da cavidade por ser obtida como

M c = M   V c V = M 8

Vamos usar isso em nossa força gravitacional!

Passo 4

Usando as massas que obtivemos, temos que

F → g = - G M m d 2 x ^ + G M m 8   ( d - R / 2 ) 2 x ^ = G M m [ 1 8 ( d - R / 2 ) 2 - 1 d 2 ] x ^

Ótimo! Agora podemos substituir valores, temos que

F → g = ( 6,674 × 1 0 - 11   N   m 2 k g 2 ) ( 2,95   K g ) ( 0,431   K g ) [ 1 8 ( 9 × 1 0 - 2 m - 4,00 × 1 0 - 2 / 2 ) 2 - 1 ( 9,00 × 1 0 - 2 ) 2 ] x ^

calculando alguns produtos, temos que

F → g = 8,48 × 1 0 - 11   N   m 2 [ 1 392 × 1 0 - 4 m 2 - 1 81 × 1 0 - 4 m 2 ]   x ^

ou simplesmente

F → g = - 8,31   × 1 0 - 9   N   x ^

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

F → g = - 8,31   × 1 0 - 9   N   x ^

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