Exercícios Resolvidos de Força e Campo Gravitacional

Força Gravitacional

Uma esfera de chumbo de raio R = 10   c m possui uma cavidade esférica cuja superfície passa pelo centro da esfera e “toca” o lado direito da esfera. A massa da esfera, antes de a cavidade ser aberta, era M = 4   k g . Com que força gravitacional a esfera de chumbo com a cavidade atrai uma pequena esfera de massa m = 0,5   k g que se encontra a uma distância d = 20   c m do centro da esfera de chumbo, sobre a reta que liga os centros da esfera e da cavidade?

G = 6,7   .   10 - 11   N   m 2 / k g 2 .

Passo 1

Vamos primeiramente calcular a força que a esfera de chumbo faz na esfera menor, sem ter a cavidade.

F 1 = G M m r 2

F 1 = 6,7   .   10 - 11   .   4   .   0,5 0,2 2

F 1 = 3,35   .   10 - 9   N

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Passo 2

Agora vamos imaginar a cavidade como sendo uma esfera de raio R / 2 , cujo o centro de massa está a uma distância de d - R / 2 da esfera pequena. Agora vamos calcular a força gravitacional que essa cavidade esférica exerceria na esfera pequena.

F 2 = G M m r 2

Entretanto, não temos a massa dessa cavidade esférica. Mas podemos descobrir utilizando a fórmula da densidade:

ρ = M 1 V 1

Para a esfera sem a cavidade, temos que M 1 = 4   k g e o volume será:

V 1 = 4 π r 3 3

V 1 = 4 π 10 3 3 = 4,19   .   10 3   c m 3

Logo, substituindo:

ρ = 4 4,19   .   10 3 = 9,5   .   10 - 4   k g / c m 3

Agora é só utilizar a densidade para a cavidade:

ρ = M 2 V 2

Entretanto, ainda temos que calcular o volume da cavidade. Mas sabemos que o raio da cavidade é a metade do raio da esfera, ou seja, é 5   c m .

V 2 = 4 π r 3 3

V 2 = 4 π 5 3 3 = 5,23   .   10 2   c m 3

Substituindo na fórmula:

9,5   .   10 - 4 = M 2 5,23   .   10 2

M 2 = 0,5   k g

Agora é só substituir na fórmula

F 2 = 6,7   .   10 - 11   .   0,5   .   0,5 ( 0,2 - 0,05 ) 2 = 7,4   .   10 - 10   N

Passo 3

Agora para calcular a força que a esfera com a cavidade faz, é só diminuir as duas forças:

F = F 1 - F 2

F = 3,35   .   10 - 9 - 7,4   .   10 - 10

F = 33,5 - 7,4 . 10 - 10

F = 2,61   .   10 - 9   N

Resposta

F = 2,61   .   10 - 9   N

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