Como mostra a figura 1 , duas esferas de massa m e uma terceira esfera de massa M formam um triângulo equilátero e uma quarta esfera de massa m 4 ocupa o centro do triângulo. A força gravitacional sobre a esfera central é nula.

b ) Se dobrarmos o valor de m 4 , qual será o novo módulo da força gravitacional a que está submetida a esfera central?

Passo 1

Eaew, belezinha contigo?

A figura 1 resume o esquema descrito no enunciado

A alternativa pede para analisarmos qual será a nova força resultante sobre a partícula central se a massa dela se tornar m 5 = 2   m 4 . Vamos usar a a gravitação universal de Newton para obter uma fórmula para a nossa força resultante! Saca só!

Passo 2

Usando o diagrama de forças que usamos na alternativa anterior, nós tínhamos obtido as seguintes equações

F → R x = | F 42 → |   c o s ( α )   x ^ - | F 41 → | c o s ( α )   x ^           ( 1 )

e, na direção y

F → R y = - | F 42 → |   s e n ( α )   y ^ - | F 41 → | s e n ( α )   y ^ + | F → 43 | y ^           ( 2 )

usando as relações trigonométricas que apresentei na alternativa anterior, temos que

s e n ( α ) = 1 2

e, como

c o s ( α ) = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a

temos que

c o s ( α ) = 2 d L

nós também obtivemos que

d = 3 L 3

Portanto, temos que

c o s ( α ) = 2 d L = 2 3 3

e, portanto, as equações são tal que

F → R x = 2 3 3 [ | F 42 → | - | F 41 → | ] x ^ e F → R y = - 1 2 [ | F 42 → | + | F 41 → | ]   y ^ + | F → 43 | y ^  

Bora escrever explicitamente agora! Saca só!

Passo 3

Pela lei da gravitação universal, temos que

F → 4 i = - G   m i m 4 d 2 r 4 i ^   ,   i = 1,2 , 3

Note que m 1 = m 2 = m e que m 3 = M , portanto, temos que

F → R x = 2 3 3 [ G m m 4 d 2 - G m m 4 d 2 ] x ^ e F → R y = - 1 2 [ G m m 4 d 2 + G m m 4 d 2 ]   y ^ + G M m 4 d 2 y ^  

ou seja, a primeira equação é sempre 0 independente do valor de m 4 . Mas a componente em y , depende do valor de M , saca só

F → R y = - G m m 4 d 2   y ^ + G M m 4 d 2 y ^ = - G m 4 d 2 [ m - M ] y ^

note que a condição de equilíbrio M = m não muda tendo em vista o valor de m 4 , mas, a resultante será tal que

F → R = - 2 G m 4 d 2 [ m - M ] y ^

se usarmos m 5 = 2   m 4 . A questão foi essa! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

F → R = - 2 G m 4 d 2 [ m - M ] y ^

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