Como mostra a figura 1 , duas esferas de massa m e uma terceira esfera de massa M formam um triângulo equilátero e uma quarta esfera de massa m 4 ocupa o centro do triângulo. A força gravitacional sobre a esfera central é nula.

a ) Qual é o valor de M em termos de m ?

Passo 1

Eaew, belezinha contigo?

A figura 1 resume o esquema descrito no enunciado

a alternativa pede para que encontremos a massa M , tal que a força gravitacional sobre a partícula no centro, de massa m 4 , sofra uma força resultante nula. Portanto, vamos usar a condição

F → R = 0 →

em que, as forças em consideração podem ser obtidas pela lei da gravitação universal de Newton

F → a b = - G   m a m b | r → a b | 2 r ^ a b

em que G é uma constante, e r a b → é o vetor que liga duas partículas quaisquer com direção dada por r ^ a b . Vamos tentar resolver isso agora! Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o diagrama de forças indicando as forças atuando sobre a partícula central, temos que

o referencial é escolhido tal que

de forma que podemos escrever todos os vetores distância como r 4 i → = d   r 4 i ^ , em que i = 1,2 , 3 . Os ângulos α serão importantes para fazermos as somas dos componentes de nossas forças! Saca só!

Temos que na direção x as seguintes forças

F → R x = | F 42 → |   c o s ( α )   x ^ - | F 41 → | c o s ( α )   x ^ = 0 →           ( 1 )

e, na direção y

F → R y = - | F 42 → |   s e n ( α )   y ^ - | F 41 → | s e n ( α )   y ^ + | F → 43 | y ^ = 0 →           ( 2 )

da equação ( 1 ) temos que | F 42 → | = | F 41 → | , e, portanto, a equação ( 2 ) nos retorna que

| F → 43 | = 2 | F 42 → |   s e n ( α )           ( 3 )

Ainda precisamos encontrar esse ângulo α , mas para isso, vamos precisar lembrar algumas propriedades geométricas do triângulo equilátero. Saca Só!

Passo 3

A nossa partícula está no baricentro, então podemos dizer que

Usando pitágoras, temos que a altura é tal que

L 2 = h 2 + ( L 2 ) 2

de forma que temos que

h = 3 L 2

lembrando que

s e n ( α ) = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a

temos que o ângulo é obtido como

s e n ( α ) = 3 L / 6 d

Mas note que

d = 2 3 h = 3 L 3

de forma que nosso ângulo é dado por

s e n ( α ) = 1 2

Vamos ver se isso é o suficiente para identificarmos a nossa massa! Saca só!

Passo 4

Usando a lei da gravitação universal de Newton, temos que a relação ( 3 ) se torna

G   M m 4 d 2 = 2 G m m 4 d 2   ( 1 2 )

em que utilizei o resultado do passo anterior! Podemos isolar a nossa massa como

M = m

o que faz sentido certo? Se todas as massa são iguais, então a partícula no centro irá sofrer uma resultante nula! A primeira alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

M = m

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