Duas esferas homogêneas de 40,0   k g são mantidas fixas nas posições cujas coordenadas são x = 0,0   m y   = 3,0   m e x = 0,0   m y = - 3,0   m . Determine: o módulo, a direção e sentido da força gravitacional resultante devida a essas esferas sobre uma terceira esfera homogênea de massa igual a 1,0   k g , situada no ponto de coordenadas x = 4,0   m , y = 0,0 �� m . Represente os vetores força gravitacional em termos dos vetores unitários.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um arranjo de três partículas que exercem força gravitacional uma sobre as outras. Como elas não são colineares, não podemos simplesmente somar ou subtrair o módulo das forças exercidas pelas duas partículas sobre a terceira pra obter a força total, mas devemos usar uma soma vetorial.

Nosso arranjo, com as coordenadas dadas, é da seguinte forma:

Pra determinar o módulo, a direção e sentido da força gravitacional resultante devida as esferas em azul sobre a terceira esfera em laranja, vamos calcular o módulo da força entre a esfera laranja e cada um das outras duas através da fórmula da força gravitacional:

F = G M m r 2

Onde r é a distância entre as esferas, M e m são suas respectivas massas e G é a constante gravitacional igual a 6,67 ∙ 10 - 11   m 3 / k g ∙ s 2     .

Passo 2

Repare que as forças que a partícula de massa m 3 = 1   k g exerce sobre as outras duas tem módulos iguais, pois a distância e a massa são as mesmas ( m 1 = m 2 = 40,0   k g ). Sendo assim, temos:

F = G m 1 m 3 r 2

A distância r é dada pela hipotenusa do triângulo formado pelo arranjo entre as esferas, que nós vimos no passo 1 . Assim, pelo teorema de Pitágoras, temos:

d = 3 2 + 4 2 = 25 = 5   m

Agora podemos substituir na fórmula da força gravitacional junto com os outros dados da questão:

F = ( 6,67 ∙ 10 - 11   m 3 / k g ∙ s 2 ) ( 40   k g ) ( 1   k g ) 5   m 2

F = 1,067 ∙ 10 - 10   N

Esse é comprimento do vetor desenhado abaixo, assim como do outro (seu reflexo no eixo x ) que representa a força gravitacional da terceira esfera sobre as outras:

Passo 3

Perceba que as duas forças se cancelam no eixo y e se somam no eixo x . Por isso a força resultante terá apenas uma componente no eixo x , apontando para a origem.

Vamos calcular essa componente:

F x = F cos ⁡ θ

Como não temos o ângulo θ , podemos usar a relação dos catetos sobre a hipotenusa ( 4 / 5 ):

F x = F 4 5 = 1,067 ∙ 10 - 10 ∙ 0,8 = 8,54 ∙ 10 - 11   N

Como as forças se somam, o módulo da resultante será:

F → = 2 F x = 2 8,54 ∙ 10 - 11   N = 1,71 ∙ 10 - 10 N

Que como vimos aponta no sentido negativo do eixo x :

F → = - 1,71 ∙ 10 - 10 N i

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

F → = - 1,71 ∙ 10 - 10 N i

Exercícios de Livros Relacionados

As massas e coordenadas de três esferas são as seguintes: 20k g , x = 0,50m , y = 1,0m ; 40k g , x = - 1,0m , y = - 1,0m ; 60k g , x = 0m , y =- 0,50m . Qual é o módulo da força gravitacional que as t
Qual deve ser a distância entre uma partícula de 5,2 kg e uma partícula de 2,4 kg para que a atração gravitacional entre elas tenha um módulo de 2,3 × 10 - 12 N ?
Miniburacos negros. Talvez existam miniburacos negros no universo, produzidos logo após o big bang. Se um desses objetos, com massa de 1 × 10 11 k g (e um raio de apenas 1 × 10 - 16 m ) se aproximasse
Na Fig. 13-33, três esferas de 5,00 kg estão localizadas a distâncias de d 1 = 0,300 m e d 2 = 0,400 m . Qual é (a) o módulo e (b) a orientação (em relação ao semieixo x positivo) da força gravitacion
Nos Problemas de 65 a 68, você recebe a(s) equação(ções) usada(s) para solucionar cada problema. Em cada caso, você deve: a. Redigir um problema realista para o qual esta seja a equação correta. b. Fa