Três estrelas, cada uma com a massa do Sol, formam um triângulo equilátero com lados de 10 × 1 0 12   m . (Este triângulo se encaixaria com precisão da órbita de Júpiter). O triângulo precisa girar, pois do contrário, as estrelas colidiram no centro. Qual é o período de rotação? Expresse sua resposta em anos.

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Vou desenhar um esqueminha que descreve o nosso problema, temos o seguinte triângulo equilátero

em que M = 1,989   × 1 0 30   K g , a massa do Sol, e os lados são dados por L = 10 × 1 0 12   m . Queremos achar o período de rotação deste sistema. Para isso, vamos estudar a força centrípeta resultante que causa a rotação destas massas em torno do centro do triângulo, e ver qual velocidade angular iremos obter, uma vez que

T = 2 π   ω

vale a pena relembrar a lei da gravitação universal de Newton como

F → a b = - G m a m b | r → a b | 2   r a b ^

em que G = 6,674   × 1 0 - 11   N   m 2 k g 2 .   Bora lá!

Passo 2

Vamos escrever o diagrama de forças relativo a uma das partículas (todas elas vão estar rotacionando juntas, então não importa qual você escolher), temos que

Note que as componentes verticais darão a nossa força centrípeta e as componentes horizontais irão se eliminar, uma vez que temos o seguinte esquema para elas

Note que abusei um pouco da notação no esquema acima! Mas o que importa é que temos duas forças iguais se somando apontando para o centro da órbita, e duas forças iguais se subtraindo tangenciais a órbita a todo instante de tempo. A componente vertical é dada por

F c → = 2   F y →

em que podemos usar a lei da gravitação de Newton para obter que

F → g = -   G   M 2 L 2   r ^

e, a componente y , será dada por

F → y = -   G   M 2 L 2   c o s ( α )   y ^

Vamos precisar achar esse ângulo! Vem comigo!

Passo 3

Podemos usar o triângulo retângulo de hipotenusa L , e catetos L / 2 e h , para escrever que

c o s ( α ) = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a = h L

mas quanto vale h ? Usando pitágoras, temos que

L 2 = h 2 + ( L 2 ) 2

e, desta maneira, obtemos

h = 3 L 2

ou seja, temos que

c o s ( α ) = 3 2

sendo assim a componente vertical de nossa força é

F y → = - 3 G M 2 2 L 2 y ^

e, portanto,a força centrípeta resultante, será dada por

F c → = 2 F y → = - 3 G M 2 L 2   y ^

Vamos usar isso para encontrar a nossa velocidade angular! Saca só!

Passo 4

A força centrípeta pode ser identificada como

| F → c | = M   v 2 R

em que R é o raio da circunferência. Em nosso caso, como nossa órbita passa pelos vértices do triângulo, o centro da órbita é o centro do triângulo equilátero, desta maneira, vamos precisar relembrar que o centro do triângulo equilátero, é relacionado com a sua altura, temos que o segmento de reta que liga a partícula considerada ao centro do triângulo tem comprimento dado por

R = 2 h 3

Se não entender essa parte, dê uma revisada em como encontrar as coordenadas do baricentro de um triângulo equilátero, belezinha? Como achamos anteriormente que h = 3 L / 2 , obtemos que

R = 3 L 3

De forma que a nossa expressão para a força centrípeta se torna

| F → c | = 3 M   v 2 3 L

usando que a velocidade linear v se relaciona com a velocidade angular por v = ω   R , usando o R obtido, temos que

| F → c | = M   ω 2 L   3

Maravilha! Vamos juntar os nossos resultados agora!

Passo 5

Usando a expressão para a força centrípeta que achamos antes, podemos pegar o seu módulo, para escrever que

3 G M 2 L 2 = M   ω 2 L   3

se isolarmos a velocidade angular, temos que

ω = 3 G M L 3

vamos substituir as constantes do problema, para obter que

ω ≈ 6,311 × 1 0 - 10   r a d / s

ou seja, o período será dado por

T = 2 π ω ≈ 9,9 × 1 0 9   s

que equivale à

T ≈ 315   a n o s

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

T ≈ 315   a n o s

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