Exercícios Resolvidos de Força e Campo Gravitacional

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Enunciado

Uma massa M uniformemente distribuída em uma esfera maciça de raio R e centro na origem exerce sobre uma partícula de massa m a uma distância r da origem uma força de módulo F ( r ) . Determine o valor da razão F 1 / F 2 nos seguintes casos:

  1. F 1   =   F ( r = R ) e F 2   =   F ( r = 8 R ) ;
  2. F 1   =   F ( r = R ) e F 2   =   F ( r = R / 8 ) .

Passo 1

Sabemos que a força gravitacional é dada por:

F G = G M m d

Onde:

F: força gravitacional entre dois corpos

G: Constante de gravitação universal

M e m: massa dos corpos (medida em quilogramas)

d: distância entre os centros dos corpos (medida em metros)

Logo

F r ≥ R = G m M r 2

E

F r ≤ R = G m m i n t r 2 = G m r 2 r 3 R 3 M = G m M R 3 r    

onde m i n t é massa total dentro de uma esfera de raio r ≤ R , dada por

m i n t = 4 3 π r 3 ρ = 4 3 π r 3 M 4 3 π R 3 = M r 3 R 3

Passo 2

Logo a razão F 1 / F 2 fica da forma:

F 1 F 2 = F R F 8 R = G m M R 2 G m M 8 R 2 = 64

Passo 3

Na letra b, seguiremos o mesmo passo análogo a letra a, substituindo F 2 = F ( R / 8 ) :

F 1 F 2 = F R F R / 8 = G m M R 2 G m M R 3 R 8 = 8

Lembrando que

F r = R 8 = G m M R 3 r = G m M R 3 R 8

Já que r < R !

Resposta

a) 64

b) 8

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