Suponha que a Terra de repente parasse de girar em torno do Sol. A força gravitacional a atrairia diretamente para o Sol. Qual seria a velocidade da Terra quando colidisse com ele?

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

Esse exercício é bastante direto, note que temos uma partícula de massa m (a Terra) caindo em direção a uma partícula de massa M (o Sol) devido a uma aceleração causada pela atração gravitacional. Ele nos pede para encontrar a velocidade com que a Terra atinge o Sol, isso parece um problema bastante direto a primeira vista, mas, como encontramos a aceleração do planeta Terra? A lei da gravitação universal de Newton diz que

F → g = - G   m M | r → | 2 r ^

em que | r → | é a distância entre duas partículas de massa m e M e a r ^ é a direção deste vetor! No entanto, para usar a segunda lei de Newton e obter uma aceleração, é necessário saber como r → ( t ) evoluí com o tempo, isso nós não sabemos! Então como proceder? Vamos usar a forma do potencial gravitacional

U = - G M m | r → |

e a conservação da energia mecânica para obter o nosso resultado! Saca só!

Passo 2

Considerando que a terra está inicialmente em repouso, ou seja, a energia cinética inicial é nula, e o centro da Terra está a uma distância | r → | = d + R T + R S do centro do Sol, portanto, temos que a energia mecânica inicial é

E = U 0 + K 0 = - G M m d + R T + R S

em que R T e R S são os raios da Terra e do Sol, e d , a distância entre as superfícies. Agora, ao colidirem, temos que a energia cinética é não-nula, e a distância entre os centros será dada pela soma dos raios R S + R T , de forma que

E = U f + K f = - G M m R S + R T + 1 2 m v 2

Vamos utilizar essa relação para obter a nossa velocidade!

Passo 3

A velocidade é tal que

v 2 = 2   G M ( - 1 d + R S + R T + 1 R S + R T ) = 2   G M ( d ) d ( R S + R T )

ou simplesmente

v 2 = 2 G M R S + R T

com uma rápida pesquisa no google, temos que as constantes são G = 6,674 × 1 0 - 11   N   m 2 / k g , M = 1,989   × 1 0 30   k g , R S = 6,963 × 1 0 8   m . Note que a massa da Terra não importa, neste problema, mas o seu raio sim R T = 6,371 × 1 0 3   m . Invocando a calculadora, temos que

v 2 = 2   ( 6,674 × 1 0 - 11 ) ( 1,989 × 1 0 30 ) ( 6,963 × 1 0 8 + 6,371 × 1 0 3 ) ≈ 3,813 × 1 0 11   m 2 s 2

ou seja, o módulo da velocidade é dado por

v ≈ 6,175 × 1 0 5   m / s

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

v ≈ 6,175 × 1 0 5   m / s

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