Exercícios Resolvidos de Força e Campo Gravitacional

UFPE – Física 2 – 1ºEE – 2019.2 – Questão 2

A figura ao lado mostra três esferas de massas m localizadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado L . Uma quarta esfera de massa m 4 está localizada no centro do triângulo. Sabe-se que todas as esferas se mantêm fixas em suas posições. A constante de gravitação universal é dada por G . Quando possível, expresse suas respostas em termos de G , L , m e m 4 .

  1. Considerando que a energia potencial gravitacional é nula no infinito, calcule a energia potencial entre a esfera de massa m localizada no vértice superior do triângulo e a massa central m 4 .
  2. Calcule o valor da força gravitacional resultante que as duas esferas de massa m localizadas nos vértices inferiores do triângulo exercem sobre a esfera central de massa m 4 .
  3. Determine o valor da força gravitacional resultante total a que a massa central m 4 estará submetida por sua interação com todas as três massas m . Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos lá! Podemos começar escrevendo que a energia potencial entre duas partículas, considerando que no infinito a energia é zero, é dada por

U = - G m 1 m 2 r .

Como as massas foram dadas, nosso problema se torna calcular a distância r entre as duas partículas.

Se liga na figura.

Como o nosso r é a hipotenusa do nosso triangulo pequeno, podemos escrever que

c o s 30 ° = L 2 r

r = L / 3

Agora só precisamos substituir os valores na nossa expressão da energia potencial. Daí temos que

U = - G m m 4 L / 3 = -   3 G m m 4 L .

Pronto, acabamos o item (a).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

No item (b), ele quer a força resultante que as duas esferas de massa m localizadas nos vértices inferiores exercem sobre a massa m 4 .

A força gravitacional entre duas partículas de massa m 1 e m 2 é dada por

F G = G m 1 m 2 r 2 .

Para melhorarmos a nossa compreensão, podemos fazer um novo desenho indicando as forças.

A distância r entre as esferas da parte de baixo e a esfera do meio é a mesma que usamos no item (a).

r = L 3

Substituindo os valores, podemos escrever que

F 1 = G m m 4 L 3 2

F 2 = G m m 4 L 3 2

Passo 3

Como a força é um vetor, podemos observar na direção e o sentido das forças.

Como os ângulos da direção das forças em relação ao semieixo inferior são iguais, podemos observar que a componente x do vetor F 1 → puxa para a direita na mesma intensidade que a componente x do vetor F 2 → , onde este puxa para a esquerda. Sendo assim, as componentes x se anulam.

Ainda observando a simetria, podemos dizer que a magnitude das componentes em y possuem a mesma magnitude, estão na mesma direção e sentido. Portanto, podemos calcular apenas uma e multiplicar por 2. Sendo assim

F 1 y = F 1 s e n θ = G m m 4 L 3 2 × 1 2 = 3 G m m 4 2 L 2  

Multiplicando esta força por 2, temos

F R y = 3 G m m 4 L 2 .

Passo 4

Como temos um triângulo equilátero com as esferas localizadas em seus vértices, ao colocarmos a massa m 4 no centro do triangulo, as forças que as esferas situadas nos vértices fazem sobre a esfera de massa m 4 terão a mesma intensidade e a resultante será nula, devido a simetria do sistema.

Observe do item (b), que as forças em x se cancelaram. Quando calculamos a força de todas as massas, a resultante que achamos no item (b), se anulará com a força exercida pela esfera superior. Portanto a força resultante é nula.

Resposta

a ) U = -   3 G m m 4 L

b ) F R = 3 G m m 4 L 2 j ^

c )   F R       é   N u l a  

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