Exercícios Resolvidos de Força e Campo Gravitacional

Lista 11, questão 2 – Gravitação, Universidade Federal Fluminense, 2014

Sabendo que a aceleração da gravidade na superfície da Terra é igual a 9,8 m / s 2 , desprezando o efeito da latitude, qual deve ser a altura acima da superfície terrestre na qual a aceleração da gravidade é igual a 9,00 m / s 2 ?

Passo 1

Normalmente o enunciado diz o valor da massa e do raio da Terra, e o valor da constante gravitacional. Pois bem, assumiremos os valores:

G = 6,67 ∙ 10 - 11 N m 2 / k g 2

M = 5,98 ∙ 10 24 k g

R = 6,37 ∙ 10 6 m

g = G M R 2 = 9,8   m / s 2

Quando estamos a uma distância h   da superfície da terra a aceleração da gravidade será g ' = 9,00 m / s 2 .

Com isto, para achar a distância acima da superfície da Terra basta assumirmos um crescimento do raio:

g ' = G M ( R + h ) 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos fazer as contas!

Botando o R em evidencia no denominador, temos:

g ' = G M R 1 + h R 2 ⇒

g ' = G M R 2 1 + h R 2

Mas sabemos que G M / R 2 = g , é a gravidade no superfície da Terra, então

g ' = g 1 + h R 2

Agora temos que isolar h . Pra isso vamos primeiro multiplicar cruzado

g ' 1 + h R 2 = g

1 + h R 2 = g g '

Aí vamos tirar a raiz quadrada dos dois lados

1 + h R = g g ' → h R = g g ' - 1

h = R g g ' - 1

Substituindo os valores, vamos ter o seguinte

h = 6,37 ∙ 10 6 9,8 9,00 - 1 = 6,37 ∙ 10 6 1,0435 - 1

h = 6,37 ∙ 10 6 ∙ 0,04 35

h = 277   084   m

h ≈ 277   K m

Show de bolinhas! :D

Resposta

h ≈ 277   k m

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