Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Questão 4) Calcule (ou mostre que não existe) o limite

b) lim x , y → π 2 , 0 ⁡ s e n x + y 1 + y 2

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão foi pedido para a gente calcular o limite da função dada por

f x , y = s e n x + y 1 + y 2

Ta lembrado de como calculamos o limite de uma função?? 🤔

Quando estamos calculando o limite de uma função em um ponto P , estamos na verdade obtendo o valor que a função f se aproxima quando nos aproximamos do ponto P .

Com isso, dizemos que o limite existe quando nos aproximamos do ponto P por qualquer lado e o valor que obtemos em f é o mesmo.

Já se em uma das nossas aproximações o valor de f for diferente, o limite não vai existir.

Entendeu? Bora ver o que podemos fazer com esse limite! 😁

Passo 2

O ponto que estamos estudando é o ponto π 2 , 0 .

Podemos começar com o método da substituição, onde simplesmente substituímos x e y pelas coordenadas dos pontos que queremos.

lim x , y → π 2 , 0 ⁡ s e n x + y 1 + y 2

lim x , y → π 2 , 0 ⁡ s e n π 2 + 0 1 + 0 2

Simplificando a fração dentro do s e n , temos

lim x , y → π 2 , 0 ⁡ s e n π 2

Ora! Encontramos uma constante e como vemos nas propriedades dos limites, o limite de uma constante é a própria constante, ou seja

lim x , y → π 2 , 0 ⁡ s e n π 2 = s e n π 2

Como o s e n π 2 é igual a 1

lim x , y → π 2 , 0 ⁡ s e n x + y 1 + y 2 = 1

Com isso, vemos que a função tende a 1 quando nos aproximamos do ponto π 2 , 0

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim x , y → π 2 , 0 ⁡ s e n x + y 1 + y 2 = 1

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Dado x 0 ,y 0 ∈ R 2 , mostrar que lim x → x 0 y → y 0 ⁡ y = y 0 .
Usando a definição de limite, mostre que:e) lim x → 0 y → 0 ⁡ x y 3 x 2 + y 2 = 0
Usando a definição de limite, mostrar que: lim x , y → ( 2,3 ) ⁡ 3 x + 2 y = 12
Usando a definição de limite, mostrar que: lim x → - 1 y → 2 ⁡ 5 x - 2 y = - 9
Explique por que cada função é contínua ou descontínua.(a) A temperatura externa como função da latitude, da longitude e do tempo.(b) A altura acima do nível do mar como função da longitude, da latitu