Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Determine se os limites indicados existem.

c) lim x ,  y → - 2 ,    2 ⁡ sin ⁡ ( x + y ) x + y

Passo 1

O enunciado pediu pra gente verificar se o limite dado existe. Lembra que pra verificar o limite de uma função de uma variável, nós calculávamos o limite pela esquerda e pela direita? Assim, se os limites fossem iguais pelos dois caminhos, poderíamos dizer que o limite existe.

Em funções de duas variáveis, como a que nós temos, o conceito é o mesmo. Porque a gente pode precisar calcular o limite por diferentes caminhos pra mostrar que ele existe ou não.

Em alguns casos, como esse, envolvendo funções trigonométricas, pode ser mais conveniente usar algumas manipulações algébricas, ou até mesmo o teorema do confronto, para encontrar limites que nós já conheçamos o resultado. É isso que nós vamos fazer.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar vericando a existência do limite:

lim x ,  y → - 2 ,   2 ⁡ f ( x ,   y ) = lim x ,  y → - 2 ,    2 ⁡ sin ⁡ ( x + y ) x + y

Chamando u = x + y , vamos ter:

lim x ,  y → - 2 ,    2 ⁡ sin ⁡ x + y x + y = lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u

O limite de sin ⁡ u u quando u → 0 corresponde ao limite fundamental, que tem valor:

lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u = 1

Portanto, podemos dizer que o nosso limite existe e é dado por:

lim x ,  y → - 2 ,    2 ⁡ sin ⁡ x + y x + y = 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x ,  y → - 2 ,    2 ⁡ sin ⁡ x + y x + y = 1

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