Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Questão 4) Calcule (ou mostre que não existe) o limite

c) lim x , y → 0 , 0 ⁡ x x y 2 x 2 + y 2

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos que obter o limite de uma função f x , y quando x , y tende a 0,0 , a função é essa aqui

f x , y = x x y 2 x 2 + y 2

E ai! Como vamos obter esse limite? 🤔🤔

Quando calculamos o limite de uma função, estamos calculando o valor para qual a função se aproxima quando nos aproximamos de um ponto P .

Nesse caso, queremos descobrir o valor que f x , y tende a assumir quando nos aproximamos de 0,0 .

Pronto pra começarmos nossos cálculos? 😁

Passo 2

Não podemos substituir x e y por 0 logo de cara, pois isso gera uma indeterminação

f 0,0 = 0 0

Então temos que encontrar outro método para calcular esse limite.

Um método muito interessante é nos aproximarmos por curvas que passam no ponto que estamos estudando, no caso 0,0 .

Por exemplo, podemos nos aproximar pela curva x = 0 .

Substituindo x por 0 no limite, temos

lim 0 , y → 0,0 ⁡ 0 0 y 2 0 2 + y 2

lim y → 0 ⁡ 0 y 2

Como 0 dividido por qualquer numero resulta em 0 , então

lim y → 0 ⁡ 0

Como o limite de uma constante é a própria constante, logo

lim y → 0 ⁡ 0 = 0

Com isso, vemos que se nos aproximarmos do ponto P pela curva x = 0 , o limite de f x , y é igual a 0 !

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Podemos nos aproximar agora pela curva y = 0 .

Substituindo y por 0 no limite, temos

lim x , 0 → 0,0 ⁡ x x 0 2 x 2 + 0 2

lim x → 0 ⁡ 0 x 2

Pela mesma ideia anterior, 0 dividido por qualquer número resulta em 0 , ou seja, em uma constante.

lim x → 0 ⁡ 0 = 0

Assim vemos que nos aproximando do ponto P pela curva y = 0 a função tende a 0 !

Agora podemos nos aproximar pela curva y = x , substituindo y por x no limite, temos

lim x , x → 0,0 ⁡ x x x 2 x 2 + x 2

lim x → 0 ⁡ x x x 2 2 x 2

Simplificando o denominador

lim x → 0 ⁡ x x x 2 2 x

Assim podemos cortar o x de cima com o de baixo

lim x → 0 ⁡ x x 2 2

Aplicando o limite, temos que

lim x → 0 ⁡ x x 2 2 = 0 2 = 0

Ou seja, aproximando por y = x , o limite da função é igual a 0 .

Quanto mais curvas usarmos como aproximação mais embasamento nossa resposta vai ter.

Com isso, vemos que o limite de f x , y para quando x , y tende a 0,0 é igual a 0 !

lim x , y → 0,0 ⁡ x x y 2 x 2 + y 2 = 0

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x x y 2 x 2 + y 2 = 0

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