Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Mostre que o limite de f abaixo existe quando ( x , y ) → ( 0,0 )

f ( x , y ) = x y x 2 + y 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 2, nosso objetivo é calcular o limite de

f ( x , y ) = x y x 2 + y 2

quando ( x , y ) → ( 0,0 )

Como fazemos isso? Geralmente, podemos substituir os valores diretamente na função, mas só quando ela é contínua. Outra forma de fazermos é fazendo uma substituição de variáveis. Então vamos nessa

Passo 2

f ( x , y ) = x y x 2 + y 2

Olhando o caminho

x = r c o s ( t )

y = r s i n ( t )

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) f ( x , y ) = l i m r → 0 r 2 c o s ( t ) s i n ( t ) r

= l i m r → 0 r c o s ( t ) s i n ( t )

= 0

Logo

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) f ( x , y ) = 0

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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Dado (x_0 , y_0) in R^2 , mostrar que underset([[x - x_0],[y - y_0]])(lim) y = y_0 .
Usando a definição de limite, mostre que:e) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x y^3)/(x^2 + y^2) = 0
Usando a definição de limite, mostrar que:underset([[x - - 1],[y - 2]])(lim) (5 x - 2 y) = - 9
Usando a definição de limite, mostrar que:underset((x , y) - ( 2,3 ))(lim) (3 x + 2 y) = 12
Explique por que cada função é contínua ou descontínua.(a) A temperatura externa como função da latitude, da longitude e do tempo.(b) A altura acima do nível do mar como função da longitude, da latitu