Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Dada a função

f x , y = s e n x 2 + y 2 x 2 + y 2

2. Calcule

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f ( x , y )

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos deu essa função de duas variáveis

f x , y = s e n x 2 + y 2 x 2 + y 2

E perguntou qual é o limite quando x , y → ( 0,0 )

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f ( x , y )

Bom, para calcular limites de várias variáveis podemos iniciar substituindo o ponto: nesse caso vamos encontrar uma indeterminação 0 / 0 ! Mas não existe regra de L’Hopital para duas variáveis! E agora?

Então precisamos de outra técnica!

A primeira a ser testada é: mudança de variáveis. Trocar essas duas variáveis pelo correspondente a uma só e fazer o limite do jeito que fazíamos no cálculo 1! E é isso que vamos fazer!

Passo 2

Nossa função é a seguinte:

f x , y = s e n x 2 + y 2 x 2 + y 2

E podemos fazer a seguinte mudança:

r = x 2 + y 2

Quando x , y → 0 , temos que r também vai a zero, então nosso limite fica assim:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ s e n x 2 + y 2 x 2 + y 2 = lim r → ( 0 ) ⁡ s e n r r

Não ficou mais simples? Agora podemos usar a regra de L’hopital:

lim r → ( 0 ) ⁡ s e n r ' r ' = lim r → 0 ⁡ c o s r 1 = 1

Logo nosso limite é:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ s e n x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1

Beleza? Espero ter ajudado!

Ate a próxima!

Resposta

1  

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