Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Determine se os limites indicados existem.

a) lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 y 2 x 4 + y 4  

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se o limite dado existe. Lembra que pra verificar o limite de uma função de uma variável, nós calculávamos o limite pela esquerda e pela direita? Assim, se os limites fossem iguais pelos dois caminhos, poderíamos dizer que o limite existe.

Em funções de duas variáveis, como a que nós temos, o conceito é o mesmo. Porque a gente vai precisar o limite por diferentes caminhos pra mostrar que ele existe ou não.

A questão é que um limite só existe se não depender do caminho. Ou seja, se o valor dele for o mesmo pra qualquer caminho. Então, a gente pode escolher curvas que passem pelo ponto ( 0 ,   0 ) ou a gente pode escolher um caminho genérico. Por exemplo, uma reta y = m x , onde m é uma constante genérica. Esse último, é o método que nós vamos adotar.

Vamos lá!

Passo 2

Galera, como o nosso limite tende para o ponto ( 0 ,   0 ) , vamos escolher uma reta genérica que passe por esse ponto. No caso, y = m x . Substituindo isso na função do limite, temos:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 y 2 x 4 + y 4 = lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 ( m x ) 2 x 4 + ( m x ) 4  

Elevando às potências indicadas:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 m 2 x 2 x 4 + m 4 x 4  

Somando os expoentes no produto:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 4 m 2 x 4 + m 4 x 4  

Colocando x 4 em evidência no denominador:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 4 m 2 x 4 ( 1 + m 4 )  

Simplificando:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ m 2 1 + m 4  

Como o limite não depende de x nem de y , temos:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ m 2 1 + m 4 = m 2 1 + m 4

Opa! Então, o limite depende só do m . Variando o m nós mudamos a reta que usamos, então achamos valores diferentes, certo? Portanto, o valor do limite depende do caminho usado e, assim, podemos dizer que o limite não existe.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

N ã o   e x i s t e

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