Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

Qual o limite de

f x , y = x y + x y 4 x 2 - 2 x y 3

Quando x , y → ( 0,1 ) ?

  1. Não existe
  2. - 2
  3. 2
  4. - 1
  5. 0

Passo 1

Mais uma vez, calcular limite...

A primeira coisa é sempre tentar a simples substituição:

lim x , y → 0,1 ⁡ x y + x y 4 x 2 - 2 x y 3 = lim x , y → 0,1 ⁡ 0.1 + 0 . 1 4 0 2 - 2 . 0 . 1 3 = 0 0

E... caímos na tal da indeterminação.

Bem, não custa tentar né, uma hora vai que...

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, vamos pensar em como sair dessa indeterminação então.

Olhando bem pra nossa função

f x , y = x y + x y 4 x 2 - 2 x y 3

Podemos organiza-la de outra forma, colocado x em evidencia:

f x , y = x y + x y 4 x 2 - 2 x y 3 = x ( y + y 4 ) x ( x - 2 y 3 ) = ( y + y 4 ) ( x - 2 y 3 )

Ih, agora temos termos com y sozinho....

E queremos o limite quando y → 1 ....

Dessa forma, acho que se tentarmos a simples substituição de novo podemos chegar num valor bom, sem indeterminação.

Passo 3

Vamos tentar então:

lim x , y → 0,1 ⁡ x y + x y 4 x 2 - 2 x y 3 = lim x , y → 0,1 ⁡ ( y + y 4 ) ( x - 2 y 3 ) = lim x , y → 0,1 ⁡ ( 1 + 1 4 ) ( 0 - 2 . 1 3 ) = 2 - 2 = - 1  

UHUL, deu bom!

Resposta

L e t r a   d

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