Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Mostre que o limite de f abaixo não existe quando ( x , y ) → ( 0,0 )

f ( x , y ) = x 3 + y 3 x 2 + y

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 2, nosso objetivo é mostrar que o limite de

f ( x , y ) = x 3 + y 3 x 2 + y

não existe quando ( x , y ) → ( 0,0 )

Como fazemos isso? Geralmente, basta encontrarmos dois caminhos distintos onde os limites são diferentes. Vamos tentar encontrar esses caminhos.

Passo 2

f ( x , y ) = x 3 + y 3 x 2 + y

Se x = y

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) f ( x , y ) = 2 x 3 x 2 + x

l i m x → 0 = 3 x 2 x 2 + 1

= 0

Fazendo a substituição:

x = a t

y = b t 1 / 3

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) f ( x , y ) = l i m t → 0 a 3 t 3 + b 3 t a 2 t 2 / 3 + b t

= l i m t → 0 = a 3 t 3 a 2 t 2 / 3 + b t + b 3 t a 2 t 2 / 3 + b t

= 0 + 1

Logo, como encontramos dois caminhos distintos onde os limites são diferentes. Temos que o limite não existe.

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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Dado (x_0 , y_0) in R^2 , mostrar que underset([[x - x_0],[y - y_0]])(lim) y = y_0 .
Usando a definição de limite, mostre que:e) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x y^3)/(x^2 + y^2) = 0
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Usando a definição de limite, mostrar que:underset((x , y) - ( 2,3 ))(lim) (3 x + 2 y) = 12
Explique por que cada função é contínua ou descontínua.(a) A temperatura externa como função da latitude, da longitude e do tempo.(b) A altura acima do nível do mar como função da longitude, da latitu