Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

(Cap. 14.2 - Ex. 8) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

l i m x ,     y → 1,0 l n l n   1 + y 2 x 2 + x y        

Passo 1

Fala pessoal! Tudo beleza? Bora lá resolver mais uma questão?

Essa questãozinha aqui é daquelas bem típicas de cálculo. O enunciado pede pra gente determinar se o limite existe ou não. Pra isso, a gente vai usar umas regrinhas básicas de cálculo, beleza? Bora lá então!

A função que o enunciado deu pra gente é a seguinte:

f x , y = l n l n   1 + y 2 x 2 + x y  

Precisamos lembrar que a função 1 + y 2 do nosso numerador, é classificada como contínua, por ser polinomial, certo? Então da mesma forma, a função x 2 + x y também será contínua!

Opa! Então a nossa função racional 1 + y 2 x 2 + x y será contínua!

Mas preste atenção! Isso vai acontecer só quando x   ≠   0 e x   ≠ - y , tranquilo?

Então, a gente pode chegar na conclusão de que a nossa função é contínua em seu domínio:

1 + y 2 x 2 + x y   > 0

Vamos ter ainda, que a composição l n l n   1 + y 2 x 2 + x y   é contínua para x   ≠   0 e x   ≠ - y

Mas o que isso nos diz?

Bom, podemos ver então que no limite dado, onde x , y = 1,0 , a função f x , y é contínua já que x = 1   ≠   0 e x   = 1   ≠ - y .

Opa! Agora nós já provamos que esse limite vai existir e sendo assim, vamos calcular ele!!

Passo 2

Bom, substituindo o limite temos:

l i m x , y → 1,0 l n   1 + y 2 x 2 + x y = l n   1 + 0 2 1 2 + 1.0

l i m x , y → 1,0 = l n   1 1

l i m x , y → 1,0 l n   1 + y 2 x 2 + x y = l n   1

l i m x , y → 1,0 l n   1 + y 2 x 2 + x y = 0

Show de bola! Conseguimos!

Pra essa questão é isso, pessoal!! Bora resolver mais uma?

Resposta

l i m x , y → 1,0 l n   1 + y 2 x 2 + x y = 0

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