Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Calcule os limites abaixo:

b ) lim x , y → 0,0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4  

Passo 1

Fala aí gente, tudo na paz?

Nessa questão precisamos calcular o limite de função de duas variáveis dado por:

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4

Como o primeiro passo no cálculo dos limites é sempre substituir os valores que ( x , y ) estão tendendo, vamos ter:

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4 = 0 0

Ou seja, uma indeterminação matemática. Sendo assim, vamos precisar pensar em outra forma de calcular esse limite.

Maaaas, sempre que temos um limite de função de duas variáveis é bom pensar primeiro se o limite realmente existe.

Lembra que pra o limite existir, ele precisa assumir o mesmo valor independente do caminho escolhido.

Show de bola!

Vamos então primeiro verificar se existem dois caminhos em que o limite nos dá valores diferentes!!

Passo 2

Bom, pra começar vamos escolher o caminho mais simples quando temos polinômios:

y = m x

Assim, vamos ter que:

x y 2 x 2 + y 4 = m x 3 x 2 + m 4 x 4

= m x 1 + m 4 x 2

Vamos substituir esse resultado no limite:

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4 = lim x → 0 ⁡ m x 1 + m 4 x 2

= 1

Então, vimos que por esse caminho o limite vale 1 .

Vamos escolher um novo caminho, buscando deixar x   e y com os mesmos expoentes.

x = y 2

Assim:

x y 2 x 2 + y 4 = y 4 y 4 + y 4

= y 4 2 y 4

= 1 2

Olha que legal! Se escolhermos esse caminho vamos ter para o limite:

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4 = lim y → 0 ⁡ y 4 2 y 4

= 1 2

Ou seja, se tomarmos o primeiro caminho o limite vale 1 . Mas, se tomarmos o segundo caminho o limite vale 1 / 2 .

Isso significa que na realidade o limite não existe, pois ele assume valores diferentes quando tomamos caminhos diferentes.

E aí, curtiu a solução? Responde Aí!

Resposta

Não existe.

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