Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria

Enunciado

Estabeleça o limite, encontrando δ   >   0 para qualquer     ϵ >   0 de maneira que a definição seja

válida.

l i m ( x , y ) → ( 1,1 ) x 2 + y 2 = 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 2, nosso objetivo é mostrar que

l i m ( x , y ) → ( 1,1 ) x 2 + y 2 = 2

Usando a definição por ϵ e δ

Lembram da definição? Ela diz que

L i m ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = L   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   ∀   ϵ   > 0   ∃   δ   t a l   q u e   δ >   | | ( x , y ) - ( x 0 , y 0 ) | | ⇒ | f ( x , y ) - L | < ϵ  

Bem confuso, né? Mas vamos ver que a forma de fazermos essa questão é encontrarmos um ϵ e depois darmos o valor de δ

Passo 2

Queremos calcular

l i m ( x , y ) → ( 1,1 ) x 2 + y 2 = 2

Nesse caso, temos que x 0 = 1 ,   y 0 = 1 ,   L = 2

Bem, note que a restrição

  δ >   | | ( x , y ) - ( x 0 , y 0 ) | |

Implica que x ,   y estão contidos na bola centrada em ( x 0 , y 0 ) e de raio até δ .

Logo, temos que

x - δ < x 0 < x + δ

y - δ < y 0 < y + δ

Ou seja,

| x 0 - x | < δ

| y 0 - x | < δ

além disso, podemos obter que

| x | < | x 0 | + δ

| x | < | y 0 | + δ

para δ   ≤   1

| x | < | x 0 | + 1

| x | < | y 0 | + 1

Com isso em mente, podemos obter uma desigualdade para | f ( x , y ) - L | .

Passo 3

Temos que:

| f ( x , y ) - L | = | x 2 + y 2 - 2 |

= | ( x 2 - 1 ) + ( y 2 - 1 ) |

Pela desigualdade triangular

≤ | ( x + 1 ) ( x - 1 ) |   + | ( y - 1 ) ( y + 1 ) |

Usando as desigualdades que obtemos no passo 2 Como x 0 = 1 ,   y 0 = 1 ,

< | x + 1 | δ + | y + 1 | δ = 17 δ

< 2 δ   +   2 δ = 4 δ

Então se escolhermos

δ = m i n ( 1 , ϵ / 4 )

Logo, para todo ϵ > 0 existe um δ = δ = m i n ( 1 , ϵ / 4 ) , tal que se

δ >   | | ( x , y ) - ( 1,1 ) | | ⇒ | f ( x , y ) - 2 | < ϵ

Dessa forma, mostramos que

l i m ( x , y ) → ( 1,1 ) x 2 + y 2 = 2

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

Exercícios de Livros Relacionados

Dado x 0 ,y 0 ∈ R 2 , mostrar que lim x → x 0 y → y 0 ⁡ y = y 0 .
Usando a definição de limite, mostre que:e) lim x → 0 y → 0 ⁡ x y 3 x 2 + y 2 = 0
Usando a definição de limite, mostrar que: lim x , y → ( 2,3 ) ⁡ 3 x + 2 y = 12
Usando a definição de limite, mostrar que: lim x → - 1 y → 2 ⁡ 5 x - 2 y = - 9
Explique por que cada função é contínua ou descontínua.(a) A temperatura externa como função da latitude, da longitude e do tempo.(b) A altura acima do nível do mar como função da longitude, da latitu