Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Questão 4) Calcule (ou mostre que não existe) o limite:

a) lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 + y x 6 - y

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

No enunciado do problema foi pedido pra obtermos o limite de x 3 + y x 6 - y para quando x e y tenderem a 0 .

Tem ideia de como podemos fazer isso?? 🤔

Na pratica, quando calculamos o limite de uma função f ( x , y ) em um ponto P , estamos calculando a imagem que a função tende a mostrar quando nos aproximamos desse ponto P .

No caso, nossa função f ( x , y ) é dada por

f ( x , y ) = x 3 + y x 6 - y

Se simplesmente substituirmos x e y por 0 , vamos obter

f ( 0,0 ) = 0 0

ou seja, uma indeterminação!

Temos que usar algum método para obter o limite dessa função!

Bora ver? 😉

Passo 2

Podemos usar o método de aproximação por curvas.

Devemos escolher algumas curvas que passam pelo ponto que estamos estudando, no caso o ponto 0,0 , se houver alguma divergência nos limites significa que o limite não existe.

Que tal começarmos com a curva x = 0 ?

Substituindo x por 0 no nosso limite, temos

lim 0 , y → 0,0 ⁡ 0 3 + y 0 6 - y

lim y → 0 ⁡ y - y

Simplificando a fração, temos

lim y → 0 ⁡ - 1

Como o limite de uma constante é a própria constante, então

lim y → 0 ⁡ - 1 = 1

Com isso, vemos que nos aproximando pela curva x = 0 o limite de f ( x , y ) é igual a - 1 !

Tranquilo até aqui?

Passo 3

O que você acha de nos aproximarmos pela curva y = 0 ?

Substituindo y por 0 no nosso limite, temos

lim x , 0 → 0,0 ⁡ x 3 + 0 x 6 - 0

lim x → 0 ⁡ x 3 x 6

Simplificando a fração que sobrou, temos

lim x → 0 ⁡ 1 x 3

Ainda não podemos substituir x por 0 , se fizermos isso, vamos zerar nosso denominador.

Podemos aplicar o método de L ' H o p i t a l .

Este método consiste em derivar o numerador e o denominador do limite, ou seja

lim x → 0 ⁡ d ( 1 ) / d x d ( x 3 ) / d x

Como sabemos a derivada de uma constante é igual a 0

d ( 1 ) d x = 0

Já a derivada de x ³ é obtida pelo método de derivação polinomial onde multiplicamos x pelo seu expoente e subtraímos 1 da sua potência.

d ( x ³ ) d x = 3 x 3 - 1 = 3 x ²  

Substituindo esses resultados no limite, temos

lim x → 0 ⁡ 0 3 x ² → lim x → 0 ⁡ 0

Como o limite de uma constante é a própria constante, então

lim x → 0 ⁡ 0 = 0

Com isso, vimos que se nos aproximarmos do ponto ( 0,0 ) pela curva y = 0 a função f tende a 0 .

Como obtemos valores diferentes para as aproximações, o limite não existe!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 + y x 6 - y = ∄

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