Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Considere a função

f x , y =   x 4 x 2 + y 2 ,     s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                           ��                 s e   x , y = ( 0,0 )

a ) Calcule ∂ f ∂ x ( x , y ) e ∂ f ∂ y ( x , y ) para os casos x , y = ( 0,0 ) e x , y ≠ ( 0,0 ) separadamente.

Passo 1

Fala aí galera, tudo bem?

Recebemos aqui uma função de duas variáveis e que também é definida por partes, dada por:

f x , y =   x 4 x 2 + y 2 ,     s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,             ��                               s e   x , y = ( 0,0 )

Precisamos calcular as derivadas parciais de f quando x , y = ( 0,0 ) e quando x , y ≠ ( 0,0 ) .

Vocês lembram como podemos fazer isso?

No caso da derivada parcial para x , y ≠ ( 0,0 ) podemos seguir normalmente, se estamos fazendo a derivada parcial em relação a x , consideramos y como uma constante e vice-versa.

Mas, em ( 0,0 ) , como esse é justamente o ponto em que a função muda de cara, para fazer a derivada parcial precisamos usar a seguinte expressão:

∂ f x 0 , y 0 ∂ x = lim x → x 0 ⁡ f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0 ∂ f x 0 , y 0 ∂ y = lim y → y 0 ⁡ f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0

Massa! Vamos seguir pras continhas então 😊

Passo 2

Começando pelas derivadas parciais para x , y ≠ ( 0,0 ) . Vamos ter:

∂ f ∂ x = ∂ x 4 x 2 + y 2 ∂ x

Considerando y como constante, e aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:

∂ f ∂ x = x 4 ' ⋅ 1 x 2 + y 2 + x 4 ⋅ x 2 + y 2 - 1 '  

∂ f ∂ x = 4 x 3 x 2 + y 2 + x 4 ⋅ - 1 x 2 + y 2 2 ⋅ 2 x

Já sobre a derivada parcial em relação a y , vamos ter:

∂ f ∂ y = ∂ x 4 x 2 + y 2 ∂ y

Aqui x é considerado uma constante. Usando a regra da cadeia, temos:

∂ f ∂ y = x 4 ⋅ ∂ 1 x 2 + y 2 ∂ y

∂ f ∂ y = x 4 ⋅ - 1 x 2 + y 2 2 ⋅ 2 y

∴ ∂ f ∂ y = - 2 y x 4 x 2 + y 2 2

Prontinho! Os casos mais simples já conseguimos calcular 😊

Passo 3

Agora iremos calcular as derivadas parciais quando x , y = ( 0,0 ) . Como comentamos no passo 1 , precisaremos usar as seguintes definições:

∂ f x 0 , y 0 ∂ x = lim x → x 0 ⁡ f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0 ∂ f x 0 , y 0 ∂ y = lim y → y 0 ⁡ f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0

Beleza! Vamos começar com ∂ f 0,0 ∂ x . Temos:

∂ f 0,0 ∂ x = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0

Pela função dada, temos:

f x , 0 = x 4 x 2 + 0 2 = x 2

f 0,0 = 0

Substituindo vem:

∂ f 0,0 ∂ x = lim x → 0 ⁡ x 2 - 0 x = 0

Perfeito então! Encontramos que:

∂ f 0,0 ∂ x = 0

Vamos agora para a derivada parcial com relação a y :

∂ f 0,0 ∂ y = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0 , 0 y - 0

Temos:

f 0 , y = 0 4 0 2 + y 2 = 0

Logo:

lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0 = 0 y

=   0

Ou seja:

∂ f 0,0 ∂ y = 0

É isso aí galeraaa! Matamos mais uma questãozita!

Até a próxima 😊

Resposta

∂ f ∂ x = 4 x 3 x 2 + y 2 + x 4 ⋅ - 1 x 2 + y 2 2 ⋅ 2 x ∂ f ∂ y = - 2 y x 4 x 2 + y 2 2 ∂ f 0,0 ∂ x = 0 ∂ f 0,0 ∂ y = 0

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