Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

14. Verificou-se que a densidade do ar em certa região industrial é mais sensível na direção vertical e que a taxa de variação é inversamente proporcional ao quadrado da altura. Estude a densidade do ar sabendo que tende a zero quando a altura tende a infinito.

Passo 1

O problema diz que a densidade do ar é mais sensível na direção vertical, então já sabemos que ela é função da altura z , e a princípio não consideramos a influência da posição ao longo do eixo x do eixo y .

Diz ainda que a taxa de variação é inversamente proporcional ao quadrado da altura. Temos:

d T x , y , z d z = k z 2

Passo 2

Ajeitando:

d T = k z - 2 d z

Integrando:

∫ d T = ∫ k z - 2 d z

T x , y , z = - k z + C

Passo 3

O problema diz que tende a zero quando a altura tende ao infinito, então temos:

li m z → ∞ ⁡ T x , y , z = 0

Temos:

C = 0

Passo 4

A equação fica:

T x , y , z = - k z

Porém como a densidade é algo positivo, podemos expressá-la assim:

T x , y , z = k z ,   k > 0

Resposta

T x , y , z = k z ,   k > 0

Exercícios de Livros Relacionados

Dado x 0 ,y 0 ∈ R 2 , mostrar que lim x → x 0 y → y 0 ⁡ y = y 0 .
Usando a definição de limite, mostre que:e) lim x → 0 y → 0 ⁡ x y 3 x 2 + y 2 = 0
Usando a definição de limite, mostrar que: lim x , y → ( 2,3 ) ⁡ 3 x + 2 y = 12
Usando a definição de limite, mostrar que: lim x → - 1 y → 2 ⁡ 5 x - 2 y = - 9
Explique por que cada função é contínua ou descontínua.(a) A temperatura externa como função da latitude, da longitude e do tempo.(b) A altura acima do nível do mar como função da longitude, da latitu