Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

14. Verificou-se que a densidade do ar em certa região industrial é mais sensível na direção vertical e que a taxa de variação é inversamente proporcional ao quadrado da altura. Estude a densidade do ar sabendo que tende a zero quando a altura tende a infinito.

Passo 1

O problema diz que a densidade do ar é mais sensível na direção vertical, então já sabemos que ela é função da altura z , e a princípio não consideramos a influência da posição ao longo do eixo x do eixo y .

Diz ainda que a taxa de variação é inversamente proporcional ao quadrado da altura. Temos:

d T x , y , z d z = k z 2

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Passo 2

Ajeitando:

d T = k z - 2 d z

Integrando:

∫ d T = ∫ k z - 2 d z

T x , y , z = - k z + C

Passo 3

O problema diz que tende a zero quando a altura tende ao infinito, então temos:

li m z → ∞ ⁡ T x , y , z = 0

Temos:

C = 0

Passo 4

A equação fica:

T x , y , z = - k z

Porém como a densidade é algo positivo, podemos expressá-la assim:

T x , y , z = k z ,   k > 0

Resposta

T x , y , z = k z ,   k > 0

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