Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Denotamos por

B r x 0 , y 0 = x - x 0 2 + y - y 0 2 < r 2

O disco aberto de raio r ≥ 0 centrado no ponto x 0 , y 0 . Seja f : D ⊂ R 2 → R definida por f x , y = 1 , onde D = B 1 0,0   ∪ 1,0 . Mostre, usando a definição de limite, que :

f ( x , y )   = 1

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Queremos demonstrar que, dado ϵ > 0 , existe sempre δ > 0 tal que se:

x , y - 1,0 < ϵ = > f x , y - 1 < ϵ       p a r a   x , y = ( 1,0 )

Como x , y ∈ D , então x , y ∈ B 1 ( 0,0 ) , ou x , y = ( 1,0 ) e dessa forma vamos verificar ambos os casos.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

1° Caso: x , y = ( 1,0 )

x , y - 1,0 = 1,0 - 1,0 = 0,0 = 0

Assim provamos que, para todo δ > 0 , teremos sempre x , y - 1,0 < δ

De modo que:

| ( f x , y - 1 | < ϵ

Concluído que se

x , y - 1,0 < δ = > f x , y - 1 < ϵ

Para x , y = ( 1,0 )

2° caso: x , y ∈ B 1 ( 0,0 )

x , y - 1,0 = x - 1 , y = x - 1 2 + y 2

x , y - 1,0 = x 2 - 2 x + 1 + y 2 = x 2 + y 2 - 2 x + 1

Como x , y ∈ B 1 ( 0,0 ) , teremos sempre:

x - 0 2 + y - 0 2 < 1 2 → x 2 + y 2 < 1

Assim:

x , y - 1,0 = x 2 + y 2 - 2 x + 1 < 1 - 2 x + 1

x , y - 1,0 < 2 - 2 x = 2 1 - x = 2 * 1 - x

Para 1 - x ∈ R , então 1 - x ≥ 0 → x ≤ 1 . Assim:

x , y - 1,0 < 2 *   1 - x < 2 * C

Onde 1 - x < C

Fazendo δ = 2 * C , então

x , y - 1,0 < 2 * C = δ → x , y - 1,0 < δ

f x , y - 1 = 1 - 1 = 0

Isto mostra que para todo ϵ > 0 , teremos sempre f x , y - 1 < ϵ

Passo 3

Portanto, podemos concluir que se:

x , y - 1,0 < δ → f x , y - 1 < ϵ ,     p a r a   t o d o   x , y ∈ B 1 0,0                 c . q . d

Resposta

Demonstração dada no passo a passo

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