Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Determine se os limites indicados existem.

d) lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 + y x 2 + y 2  

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se o limite dado existe. Lembra que pra verificar o limite de uma função de uma variável, nós calculávamos o limite pela esquerda e pela direita? Assim, se os limites fossem iguais pelos dois caminhos, poderíamos dizer que o limite existe.

Em funções de duas variáveis, como a que nós temos, o conceito é o mesmo. Porque a gente vai precisar o limite por diferentes caminhos pra mostrar que ele existe ou não.

A questão é que um limite só existe se não depender do caminho. Ou seja, se o valor dele for o mesmo pra qualquer caminho. Então, a gente pode escolher curvas que passem pelo ponto ( 0 ,   0 ) ou a gente pode escolher um caminho genérico. Por exemplo, uma reta y = m x , onde m é uma constante genérica. Nesse caso, vamos escolher y = 0 e y = x 2 para verificar se os limites são iguais quando substituirmos esses valores na função.

Vamos lá!

Passo 2

Substituindo y = 0 na função do limite, temos:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 + y x 2 + y 2 = lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 + 0 x 2 + ( 0 ) 2  

Simplificando, vamos obter:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 x 2 = lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ 1 = 1

Passo 3

Agora vamos testar y = x 2 na função:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 + y x 2 + y 2 = lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 + x 2 x 2 + ( x 2 ) 2  

Elevando às potências indicadas:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 + x 2 x 2 + x 4  

Somando os termos semelhantes:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ 2 x 2 x 2 + x 4  

Colocando x 2 em evidência no denominador:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ 2 x 2 x 2 ( 1 + x 2 ) = lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ 2 1 + x 2  

Assim, quando x tende a zero, temos:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ 2 1 + x 2 = 2

Como os dois caminhos para chegar ao ponto ( 0 ,   0 ) nos fornecem valores diferentes, significa que esse limite não existe.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

N ã o   e x i s t e

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