Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria

Enunciado

Estabeleça o limite, encontrando δ   >   0 para qualquer     ϵ >   0 de maneira que a definição seja

válida.

l i m ( x , y ) → ( 2,4 ) 5 x - 3 y = - 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 2, nosso objetivo é mostrar que

l i m ( x , y ) → ( 2,4 ) 5 x - 3 y = - 2

Usando a definição por ϵ e δ

Lembram da definição? Ela diz que

L i m ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = L   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   ∀   ϵ   > 0   ∃   δ   t a l   q u e   δ >   | | ( x , y ) - ( x 0 , y 0 ) | | ⇒ | f ( x , y ) - L | < ϵ  

Bem confuso, né? Mas vamos ver que a forma de fazermos essa questão é encontrarmos um ϵ e depois darmos o valor de δ

Passo 2

Queremos calcular

l i m ( x , y ) → ( 2,4 ) 5 x - 3 y = - 2

Nesse caso, temos que x 0 = 2 ,   y 0 = 4 ,   L = - 2

Bem, note que a restrição

  δ >   | | ( x , y ) - ( x 0 , y 0 ) | |

Implica que x ,   y estão contidos na bola centrada em ( x 0 , y 0 ) e de raio até δ .

Logo, temos que

x - δ < x 0 < x + δ

y - δ < y 0 < y + δ

Ou seja,

| x 0 - x | < δ

| y 0 - x | < δ

Com isso em mente, podemos obter uma desigualdade para | f ( x , y ) - L | .

Passo 3

Temos que:

| f ( x , y ) - L | = | 5 x - 3 y + 2 |

Vamos somar e subtrair 10   e   12

= | 5 x - 10   - 3 y + 12   - 12 + 10 + 2 |

= | 5 ( x - 2 )   - 3 ( y - 4 ) |

Pela desigualdade triangular

≤ 5 | x - 2 | + 3 | y - 4 |

Usando as desigualdades que obtemos no passo 2 Como x 0 = 2 ,   y 0 = 4 ,

< | 5 ( δ ) | + | 3 ( δ ) | = 8 δ

Então se escolhermos

δ = ϵ / 8

Logo, para todo ϵ > 0 existe um δ = ϵ / 7 , tal que se

δ >   | | ( x , y ) - ( 2,4 ) | | ⇒ | f ( x , y ) + 2 | < ϵ

Dessa forma, mostramos que

l i m ( x , y ) → ( 2,4 ) 5 x - 3 y = - 2

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

Exercícios de Livros Relacionados

Dado (x_0 , y_0) in R^2 , mostrar que underset([[x - x_0],[y - y_0]])(lim) y = y_0 .
Usando a definição de limite, mostre que:e) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x y^3)/(x^2 + y^2) = 0
Usando a definição de limite, mostrar que:underset([[x - - 1],[y - 2]])(lim) (5 x - 2 y) = - 9
Usando a definição de limite, mostrar que:underset((x , y) - ( 2,3 ))(lim) (3 x + 2 y) = 12
Explique por que cada função é contínua ou descontínua.(a) A temperatura externa como função da latitude, da longitude e do tempo.(b) A altura acima do nível do mar como função da longitude, da latitu