Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Determine se os limites indicados existem.

b) lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 y 2 x 2 + y 2  

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se o limite dado existe. Lembra que pra verificar o limite de uma função de uma variável, nós calculávamos o limite pela esquerda e pela direita? Assim, se os limites fossem iguais pelos dois caminhos, poderíamos dizer que o limite existe.

Em funções de duas variáveis, como a que nós temos, o conceito é o mesmo. Porque a gente vai precisar o limite por diferentes caminhos pra mostrar que ele existe ou não.

A questão é que um limite só existe se não depender do caminho. Ou seja, se o valor dele for o mesmo pra qualquer caminho. Então, a gente pode escolher curvas que passem pelo ponto ( 0 ,   0 ) ou a gente pode escolher um caminho genérico. Por exemplo, uma reta y = m x , onde m é uma constante genérica. Esse último, é o método que nós vamos adotar.

Vamos lá!

Passo 2

Galera, como o nosso limite tende para o ponto ( 0 ,   0 ) , vamos escolher uma reta genérica que passe por esse ponto. No caso, y = m x . Substituindo isso na função do limite, temos:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 y 2 x 2 + y 2 = lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 ( m x ) 2 x 2 + ( m x ) 2  

Elevando às potências indicadas:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 m 2 x 2 x 2 + m 2 x 2  

Somando os expoentes no produto:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 4 m 2 x 2 + m 2 x 2  

Colocando x 2 em evidência no denominador:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 4 m 2 x 2 ( 1 + m 2 )  

Simplificando:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 m 2 1 + m 4  

Como o limite ainda depende de x , podemos dizer que o limite existe, mas vamos calculá-lo pra ter certeza.

Passo 3

Pra sair da indeterminação de lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 y 2 x 2 + y 2 , vamos usar as coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Assim, quando x ,   y → ( 0 ,   0 ) , temos r → 0 . Substituindo isso na função do limite:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 y 2 x 2 + y 2 = lim r → 0 ⁡ ( r cos ⁡ θ ) 2 ( r sin ⁡ θ ) 2 ( r cos ⁡ θ ) 2 + ( r sin ⁡ θ ) 2

Elevando ao quadrado:

lim r → 0 ⁡ r 2 cos 2 ⁡ θ ∙ r 2 sin 2 ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

Somando os expoentes nas potências de mesma base:

lim r → 0 ⁡ r 4 cos 2 ⁡ θ ∙ sin 2 ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

Colocando r 2 em evidência e usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , temos:

lim r → 0 ��� r 4 cos 2 ⁡ θ ∙ sin 2 ⁡ θ r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ )

lim r → 0 ⁡ r 4 cos 2 ⁡ θ ∙ sin 2 ⁡ θ r 2

Simplificando:

lim r → 0 ⁡ r 2 cos 2 ⁡ θ ∙ sin 2 ⁡ θ

Assim, quando r tende a zero, temos:

= 0 ∙ cos 2 ⁡ θ ∙ sin 2 ⁡ θ

= 0

Portanto, nosso limite existe e é igual a zero.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 y 2 x 2 + y 2 = 0

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