Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

2) Calcule o limite abaixo, caso exista. Justifique.

lim x , y → 3,0 ⁡ x - 3 2 + y 2 2 - x 2 - 6 x + y 2 + 13

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, queremos obter o limite da função f x , y = x - 3 2 + y 2 2 - x 2 - 6 x + y 2 + 13 para x , y → 3,0 .

Como vamos fazer isso? 🤔

Quando calculamos o limite de uma função de duas variáveis, podemos fazer a aproximação de x , y por pontos, por exemplo, nosso ponto de análise é 3,0 , então vemos como f x , y se comporta em 3.1,0.1 ou em 2.9 , - 0.1 ...

E também podemos usar aproximações por curvas que passam no ponto que estamos analisando, por exemplo, y = x - 3 , y = x 2 - 9 ...

Assim, se alguma aproximação, encontrarmos uma divergência, significa que o limite não existe.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiro vamos fazer uma translação no sistema pois é mais fácil trabalhar com o limite de x , y → 0,0 , então vamos fazer x se transformar em x + 3 , ou seja

lim x + 3 , y → 3,0 ⁡ x + 3 - 3 2 + y 2 2 - x + 3 2 - 6 x + 3 + y 2 + 13

lim x , y → 3 - 3 , 0 ⁡ x 2 + y 2 2 - x 2 + 6 x + 9 - 6 x - 18 + y 2 + 13

lim x , y → 0 , 0 ⁡ x 2 + y 2 2 - x 2 + y 2 + 4

Entendeu o que fizemos? Agora o limite ficou mais clean.

Passo 3

Fazendo aproximações por curvas que passam em 0,0 , temos que para y = x ...

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 2 - x 2 + y 2 + 4 → lim x , x → 0,0 ⁡ x 2 + x 2 2 - x 2 + x 2 + 4

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 2 - 2 x 2 + 4 = 0 0

Como caímos em uma indeterminação 0 / 0 , vamos aplicar a regra de L ' H o p i t a l e derivar o numerador e o denominador...

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 2 - 2 x 2 + 4 = lim x → 0 ⁡ d 2 x 2 d x d 2 - 2 x 2 + 4 d x

Na derivada do numerador, temos

d 2 x 2 d x = 4 x

Já na derivada do denominador, temos que aplicar a regra da cadeia

d 2 - 2 x 2 + 4 d x = d - 2 x 2 + 4 d x = - d 2 x 2 + 4 d x · d u d u

d 2 - 2 x 2 + 4 d x = - 4 x · 1 2 u

d 2 - 2 x 2 + 4 d x = - 2 x 2 x 2 + 4

Substituindo no limite, temos

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 2 - 2 x 2 + 4 = lim x → 0 ⁡ 4 x - 2 x 2 x 2 + 4

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 2 - 2 x 2 + 4 = lim x → 0 ⁡ - 2 2 x 2 + 4 = - 2 2 0 2 + 4

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 2 - 2 x 2 + 4 = - 4

Tranquilo até aqui? Vamos tentar por outra curva

Passo 4

Agora vamos nos aproximar por y = 0

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 2 - x 2 + y 2 + 4 → lim x , 0 → 0,0 ⁡ x 2 + 0 2 2 - x 2 + 0 2 + 4

lim x → 0 ⁡ x 2 2 - x 2 + 4

Novamente aplicando a regra de L ' H o p i t a l ...

d x 2 d x = 2 x

d 2 - x 2 + 4 d x = - x x 2 + 4

lim x → 0 ⁡ x 2 2 - x 2 + 4 = lim x → 0 ⁡ 2 x - x x 2 + 4 = - 2 x 2 + 4

lim x → 0 ⁡ x 2 2 - x 2 + 4 = - 4

E por fim, por x = 0

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 2 - x 2 + y 2 + 4 → lim 0 , y → 0,0 ⁡ 0 2 + y 2 2 - 0 2 + y 2 + 4

lim y → 0 ⁡ y 2 2 - y 2 + 4

Novamente aplicando a regra de L ' H o p i t a l ...

d y 2 d y = 2 y

d 2 - y 2 + 4 d y = - y y 2 + 4

lim y → 0 ⁡ y 2 2 - y 2 + 4 = lim y → 0 ⁡ 2 y - y y 2 + 4 = - 2 y 2 + 4

lim y → 0 ⁡ y 2 2 - y 2 + 4 = - 4

Como em três aproximações diferentes o resultado foi o mesmo, podemos dizer que o limite de f x , y para x , y → 3,0 é - 4 . Mas lembrando que quanto mais curvas usarmos na aproximação, mais validade terá nosso resultado.

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 2 - x 2 + y 2 + 4 = - 4

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