Exercícios Resolvidos de Posição do Centro de Massa

PUCRIO – Física 1 – 2020.1 – P2 – M. Escolha

11 . Uma moça está parada no extremo direito de uma plataforma plana, que, por sua vez, também se encontra em repouso com relação à superfície de gelo em que se apoia. A moça, então, começa a correr para a esquerda com velocidade constante V m p = - 1,5   m / s em relação à plataforma. Não há atrito entre a plataforma e a superfície de gelo, a massa da moça é m m = 50,0   k g , a massa da plataforma é m p = 200   k g e o tamanho da plataforma é L = 5,0   m . Tome a posição inicial do extremo esquerdo da plataforma em x = 0,0   m como mostrado na figura. Encontre o centro de massa do sistema (moça-plataforma) antes da moça começar a se mover. Quando a moça chega no extremo esquerdo da plataforma, esta se moveu uma distância d (como na figura) determine d .

Passo 1

Vem comigo que a gente da um jeito nessa questão!

Para encontrarmos o centro de massa antes da menina se mover, vamos usar a seguinte equação que nos fornece a posição do centro de massa:

x C M = m 1 x 1 + m 2 x 2 + … m 1 + m 2 + …

Onde x i é a posição de um corpo do sistema até a origem.

Como só temos a menina e a barra no sistema a equação fica da seguinte maneira:

x C M = m m x m + m p x p m m + m p

Mas a barra é um corpo extenso, como vamos fazer para achar a distância x de cada pedaço dela até a origem?

Então, essa barra é homogênea, logo a distribuição de massa nela é igual, com isso o centro de massa dela sozinha é no meio dela, então podemos considerar o meio dela como a posição referente a origem.

Para achar a distância d , temos que saber a velocidade da barra e o tempo que a menina levou para atravessar a barra inteira.

Para achar a velocidade, vamos usar a conservação de momento, já que a quantidade de movimento da menina é igual à da barra.

Tendo essa velocidade da barra, vamos subtrai-la da velocidade da menina em relação a barra para podermos encontrar a velocidade da menina em relação ao a superfície e encontrar o tempo que ela leva para percorrer 5   m .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos encontrar primeiro o centro de massa, temos:

x C M = m m x m + m p x p m m + m p

Substituindo com os valores que conhecemos, temos:

x C M = ( 50 ) ( 5 ) + ( 200 ) ( 5 / 2 ) 50 + 200

⇒ x C M = 750 250

Assim temos que:

x C M = 3   m

Passo 3

Agora vamos encontrar a velocidade da prancha, usando a conservação de momento, temos:

m m v m p = m p v p

⇒ v p = m m v m p m p

Substituindo os valores em módulo do que temos, ficamos com:

v p = ( 50 ) ( 1,5 ) 200

Assim temos que:

v p = 0,375   m / s

Passo 4

Agora vamos subtrair essa velocidade da velocidade da menina e encontrar a velocidade dela em relação a superfície. Temos:

v m s = v m p - v p

⇒ v m s = - 1,5 - 0,375 = - 1,875   m / s

Agora vamos usar uma equação, velha conhecida nossa, para achar o tempo que a menina leva para chegar na outra ponta da barra, temos:

v = Δ S Δ t

⇒ Δ t = Δ S v

⇒ Δ t = 5 1,875

Assim temos que:

Δ t = 2,67   s

Tendo esse tempo e sabendo a velocidade da barra, podemos achar o valor de d , usando a mesma equação anterior, temos:

Δ S = d = v Δ t

⇒ d = 0,375 ( 2,67 )

Com isso temos que:

d = 1   m

Com isso finalizamos a questão!

Resposta

x C M = 3   m

d = 1   m

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