Exercícios Resolvidos de Posição do Centro de Massa

Sistema de Partículas, Forças e Leis de Newton, Energia Potencial e Conservação de Energia

Um sistema massa-mola consiste de uma partícula de massa m = 1   k g presa a uma mola de constante elástica k = 800   N / m e massa desprezível. Montamos este sistema sobre uma plataforma móvel de massa M = 2 m conforme mostrado na figura. A posição de equilíbrio coincide com centro de plataforma, conforme mostra a figura 1 , e tanto a massa m se desloca sem atrito sobre a plataforma, quanto a plataforma se desloca sem atrito sobre a superfície horizontal. Suponhamos que a mola seja distendida em 1   c m e solta, com o sistema todo inicialmente em repouso.

a ) O deslocamento x M da plataforma, quando a mola estiver comprimida em 1 2 c m ,

b ) A velocidade v m (módulo e sentido) do bloco de massa m nesta condição.

c ) A velocidade V M (módulo e sentido) da plataforma nesta condição.

Passo 1

a )

Lembrando que o centro de massa pode ser calculado pela fórmula:

r C M → = r 1 → . m 1 + r 2 → . m 2 m 1 + m 2

Vamos convencionar a posição x 0 , que é a posição da mola relaxada, como o ponto de origem. Ou seja, o corpo de massa M terá sempre o vetor posição nulo, visto que seu centro de massa coincide com o ponto que adotamos como origem.

Em um primeiro momento, a mola é distendida de 1   c m , ou seja, posição - 1 .

r C M 1 = - 1 . m + 0 . M m + M

r C M 1 = - 1 m m + 2 m

r C M 1 = - 1 3

Agora, o bloco é solto e chega a comprimir a mola de 1 2 c m , ou seja, chega até a posição 1 2 .

r C M 2 = 1 2 m + 0   .   M m + M

r C M 2 = 1 2 m m + 2 m

r C M 2 = 1 6

Logo, o deslocamento x M da plataforma será a variação da posição do centro de massa.

x M = ∆ r C M = r C M f - r C M i

x M = 1 6 - - 1 3

x M = 1 6 + 1 3

x M = 1 2   c m  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Aplicando a conservação do momento linear:

p i = p f

Entretanto, no primeiro momento, tanto o bloco quanto a plataforma estão em repouso. Portanto p i = 0 , ficamos então com:

p f = 0

m . v m + M . V M = 0

m . v m = - 2 m . V M

V M = - v m 2

Agora aplicando a conservação de energia mecânica. No primeiro momento temos apenas a energia potencial elástica no ponto x = - 1   c m = - 1   .   10 - 2   m . No segundo momento, além da energia potencial elástica no ponto x = 1 2   c m = 1 2   .   10 - 2   m , temos também a energia cinética do bloco e da plataforma. Passamos a posição de c m para m , justamente porque temos que k = 800   N / m .

k ∆ x 1 2 2 = m . v m 2 2 + M . V M 2 2 + k ∆ x 2 2 2

Substituindo os valores:

800 - 1   .   10 - 2 2 2 = m . v m 2 2 + 2 . m . - v m 2 2 2 + 800 1 2   .   10 - 2 2 2

Lembrando que m = 1   k g .

800   .   10 - 4 2 = v m 2 2 + v m 2 4 + 800   .   10 - 4 8

400   .   10 - 4 - 100   .   10 - 4 = 3 v m 2 4

v m = 400   .   10 - 4

v m = 0,2   m / s

Passo 3

c )

No item anterior, descobrimos que:

V M = - v m 2

Logo:

V M = - 0,2 2

V M = - 0,1   m / s

O negativo, significa que ela tem sentido contrário ao do bloco.

Resposta

a )   x M = 1 2   c m  

b )   v m = 0,2   m / s

c )   V M = - 0,1   m / s

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