Exercícios Resolvidos de Posição do Centro de Massa

Colisões

Vamos supor que duas partículas A e B colidem bidimensionalmente. Seja a partícula A de massa 1,0   k g e a partícula B de massa 3,0   k g . As posições das partículas num certo instante t 1 antes da colisão são dadas por R A = 1,0   i ^ + 3,0   j ^   m e R B = 5,0   i ^ - 1,0   j ^   m . O tempo de duração da colisão é de 15   m s .

a) Calcule o vetor de posição do centro de massa no instante t 1 .

b) Suponha agora que as velocidades no início da colisão são: v A = ( 2,5   i ^ + 6,0   j ^ )   m / s e v B = ( - 3,0   i ^ + 2,5   j ^ )   m / s , e que no fim da colisão a componente x da velocidade de A é igual a 4,0   m / s e a componente y da velocidade de B é 3,0   m / s . Escreva os vetores velocidade de ambas as partículas no fim da colisão.

c) Suponha agora que as velocidades no início da colisão são: v A = ( 2,0   i ^ + 5,0   j ^ )   m / s e v B = ( 3,0   i ^ + 2,0   j ^ )   m / s , e que a colisão é completamente inelástica. Calcule o vetor força média que atua na partícula A durante a colisão ( F m ).

Passo 1

a)

Aplicando a fórmula de posição do centro de massa:

R C M = m A R A + m B R B m A + m B = 1 i ^ + 3 j ^ + 15 i ^ - 3 j ^ 4 = 16 4 i ^ = 4 i ^   m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Pela conservação do momento linear no início e no fim da colisão:

m A v A + m B v B = m A V A + m B V B

Onde v A = 2 , 5 i ^ + 6 j ^ e v B = - 3 i ^ + 2 , 5 j ^ e V A X = 4 e V B Y = 3 . Então:

2 , 5 i ^ + 6 j ^ - 9 i ^ + 7 , 5 j ^ = 4 i ^ + V A Y j ^ + 3 V B X i ^ + 9 j ^

3 V B X = - 10 , 5   m / s

V A Y = 4 , 5   m / s

Assim:

V A = 4 i ^ + 4 , 5 j ^   m / s

E

V B = - 10 , 5 3 i ^ + 3 j ^   m / s

Passo 3

c)

Na colisão completamente inelástica:

m A v A + m B v B = V f m A + m B

V f = m A v A + m B v B m A + m B = 11 i ^ + 11 j ^ 4 = 11 4 ( i ^ + j ^ )

Assim, F m = ∆ P T C o l , onde T C o l = 15   m s = 0 , 015   s e ∆ P = P F - P I . Calculando:

∆ P = m A V f - m A v A = 11 4 i ^ + j ^ - 2 i ^ + 5 j ^ = 0,75 i ^ - 2,25 j ^

F m = 0,75 i ^ - 2,25 j ^ 0 , 015

F m = 50 i ^ - 150 j ^   N

Resposta

a) R C M = 4 i ^   m

b) V A = 4 i ^ + 4 , 5 j ^   m / s ; V B = - 10 , 5 3 i ^ + 3 j ^   m / s

c) F m = 50 i ^ - 150 j ^   N

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