Exercícios Resolvidos de Posição do Centro de Massa

Sistema de Partículas

Um sistema é constituído de três partículas de mesma massa localizadas nos semi-eixos positivos O X , O Y e O Z a uma mesma distância a da origem, como indica a figura. O vetor posição r → c m do centro de massa do sistema é

  1. a 2 i ^ + j ^ + k ^ ;
  2. a 3 i ^ + j ^ + k ^ ;
  3. a i ^ + j ^ + k ^ ;
  4. a 6 i ^ + j ^ + k ^ ;
  5. 2 a 3 i ^ + j ^ + k ^ ;

Passo 1

O eixo cartesiano já foi dado pelo enunciado, então vamos nos basear nele.

Repara que o arranjo é composto por 3 partículas, vamos numera-los para nos organizar.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos ter

E i x o   x x 1 = a x 2 = 0 x 3 = 0

E i x o   y y 1 = 0 y 2 = 0 y 3 = a

E i x o   z z 1 = 0 z 2 = a z 3 = 0

Nessa questão temos o centro de massa em 3 dimensões, não tem problema, basta resolver como está indicado na teoria, a logica não muda só vai aparecer mais uma componente.

Passo 3

Usando a fórmula para as coordenadas do centro de massa vamos ter

x C M = x 1 ⋅ m 1 + x 2 ⋅ m 2 + x 3 ⋅ m 3 m 1 + m 2 + m 3

Lembrando que ele possuem a mesma massa, mas não foi dado no enunciado, vamos fazer

m 1 = m 2 = m 3 = m 4 = m

Então

x C M = a ⋅ m + 0 ⋅ m + 0 ⋅ m m + m + m

x C M = m a 3 m

x C M = a 3

Passo 4

Agora fazendo no e i x o   y

y C M = y 1 ⋅ m 1 + y 2 ⋅ m 2 + y 3 ⋅ m 3 m 1 + m 2 + m 3

Então

y C M = 0 ⋅ m + 0 ⋅ m + a ⋅ m m + m + m

y C M = m a 3 m

y C M = a 3

Passo 5

Agora fazendo no e i x o   z

z C M = z 1 ⋅ m 1 + z 2 ⋅ m 2 + z 3 ⋅ m 3 m 1 + m 2 + m 3

Então

z C M = 0 ⋅ m + a ⋅ m + 0 ⋅ m m + m + m

z C M = m a 3 m

z C M = a 3

Passo 6

Escrevendo esse centro de massa vetorialmente teremos

r → C M = x C M i ^ + y C M j ^ + z C M k ^

r → C M = a 3 i ^ + a 3 j ^ + a 3 k ^

Colocando a / 3 em evidência teremos

r → C M = a 3 i ^ + j ^ + k ^

Resposta

Letra B

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