Exercícios Resolvidos de Posição do Centro de Massa

Elaboração Própria

Encontre a posição do centro de massa da chapa abaixo, considere a chapa homogênea.

Passo 1

Essa chapa é o nosso sistema, podemos então “quebrá-la” em vários objetos que sabemos o centro de massa, mas quais são esses objetos? Retângulos, o centro de massa de retângulos é exatamente no seu meio. Separando essa figura temos

Vamos ter as seguintes componentes para o centro de massa dos retângulos (coordenadas do centro do retângulo):

r e t a n g u l o   1 x 1 = 1,5 a 2 = 0,75 a y 1 = 2 a 2 = a                        

r e t a n g u l o   2 x 2 = 1,5 a + a 2 = 2 a y 2 = a 2 = 0,5 a                

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Quando cada objeto na verdade são chapas, podemos usar a área de cada uma delas em vez da massa, isso porque elas são proporcionais

Assim, vamos calculas a posição x do centro de massa

x C M = A 1 ⋅ x 1 + A 2 ⋅ x 2 A 1 + A 2

x C M = 1,5 a ⋅ 2 a ⋅ 0,75 a + a ⋅ a ⋅ 2 a 1,5 a ⋅ 2 a + a ⋅ a

x C M = 2,25 a 3 + 2 a 3 3 a 2 + a 2

x C M = 4,25 a 3 4 a 2

x C M = 1,0625 a

Passo 3

Agora, vamos calcular a posição y do centro de massa

y C M = A 1 ⋅ y 1 + A 2 ⋅ y 2 A 1 + A 2

y C M = 1,5 a ⋅ 2 a ⋅ a + a ⋅ a ⋅ 0,5 a 1,5 a ⋅ 2 a + a ⋅ a

y C M = 3 a 3 + 0,5 a 3 3 a 2 + a 2

y C M = 3,5 a 3 4 a 2

y C M = 0,875 a

Passo 4

O vetor centro de massa fica

r → C M = 1,0625 a i ^ + 0,875 a j ^

Resposta

r → C M = 1,0625 a i ^ + 0,875 a j ^

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