Exercícios Resolvidos de Posição do Centro de Massa

Sistema de partículas

O centro de massa de uma barra não uniforme de tamanho L = 1 m e massa total M está localizado à 30   c m de uma das extremidades. Se grudarmos na extremidade oposta um objeto pontual de massa M , de quanto se deslocará o centro de massa desta configuração?

  1. 30 c m .
  2. 70 c m .
  3. 35 c m .
  4. 50 c m .
  5. Depende do valor de M .

Passo 1

Bom galera, como nesse caso a barra não é uniforme, podemos dizer que o centro de massa foi calculado assim: x C M = ∫ x d m M

Qual é a idéia? Simples, só você pensar na forma básica de se calcular o centro de massa que é assim:

C M = x 1 m 1 + x 2 m 2 + x 3 m 3 … m 1 + m 2 + m 3 … .

Só que como é uma barra continua, a gente chamou isso ai de uma integral. Esses “ m " s viram d m e o x na integral varia assim.

Além disso:

M = m 1 + m 2 + m 3 + … = M

Que é a massa total.

Mas por hora,o que a gente precisa guardar é a idéia que:

x C M = ∫ x d m M = 30 c m = 0,30 m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, agora adicionamos uma massa M no x = 1 ( a outra extremidade da barra).

Como fica o cálculo do centro de massa agora? Usando a notação de integral:

x C M = ∫ x d m + M . 1 2 M

Sacou? A massa total embaixo cresce, além disso, tivemos que adicionar um novo elemento de massa M na ordenada x = 1 .

Bom, pra você entender melhor ainda, pode usar também a outra notação:

x C M = x 1 m 1 + x 2 m 2 + x 3 m 3 … . M . 1 M + M

Sacou?

Bom, vamos continuar com as contas:

Passo 3

x C M = ∫ x d m + M . 1 2 M = ∫ x d m 2 M + M 2 M = 1 2 . ∫ x d m M + 1 2

Mas lembrando que:

x C M = ∫ x d m M = 0,30 m

Então:

x C M = 1 2 0,30 + 1 2 = 0,15 + 0,50 = 0,65 m

E esse novo valor do centro de massa!!! Mas essa não é a resposta, precisamos fazer a diferença com o valor original do centro de massa pra saber quanto ele se deslocou:

∆ x C M = 0,65 - 0,30 = 0,35 = 35 c m

Então:

c)

Resposta

c)

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