Três pequenas esferas, A , B e C , com as massas de 3   k g , 1,0   k g e 1,0   k g , respectivamente, estão montadas nos vértices de um triângulo de hastes rígidas, muito leves. As coordenadas das esferas no plano X Y são: A = ( 2,0   m ,   2,0   m ) , B = ( 1,0   m ,   1,0   m ) e C = ( 3,0   m ,   0,0   m ) .

a) Desenhe o sistema no plano X Y ;

b) Que coordenada tem o centro de massa? Indique a posição do centro de massa no desenho da letra a).

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos pediu pra gente desenhar o sistema de três esferas com as coordenadas que ele nos deu e encontrar o centro de massa desse sistema.

Para encontrar as coordenadas do centro de massa do sistema, temos que lembrar que, em geral, a posição do centro de massa de um sistema é dado pela média ponderada da posição dos objetos no sistema, considerando sua massa. Seria o seguinte:

r → C M = r → 1 m 1 + r → 2 m 2 + r → 3 m 3 + … m 1 + m 2 + m 3 + …

Onde r → 1 ,   r → 2 ,   r → 3 , … representam a posição do centro de massa do objeto 1 ,   2 ,   3 ,   … respectivamente. Além disso, r → C M = ( x C M ,   y C M ) , então também podemos separar os eixos para calcular.

x C M = x 1 m 1 + x 2 m 2 + x 3 m 3 + … m 1 + m 2 + m 3 + …

y C M = y 1 m 1 + y 2 m 2 + y 3 m 3 + … m 1 + m 2 + m 3 + …

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar usando as coordenadas A = ( 2 ,   2 ) , B = ( 1 ,   1 ) e C = ( 3 ,   0 ) , para plotar o sistema no plano cartesiano x y , em metros:

Passo 3

Agora vamos calcular as coordenadas do centro de massa do sistema, começando com o eixo x . Vamos considerar as coordenas A = ( 2 ,   2 ) , B = ( 1 ,   1 ) e C = ( 3 ,   0 ) e as massas m A = 3   k g , m B = 1,0   k g e m C = 1,0   k g . Fica assim:

x C M = x A m A + x B m B + x C m C m A + m B + m C

Substituindo as coordenas e as massas:

x C M = 2 ∙ 3 + 1 ∙ 1 + 3 ∙ 1 3 + 1 + 1

x C M = 10 5 = 2   m

Agora calculando a coordenada y , vamos ter:

y C M = y A m A + y B m B + y C m C m A + m B + m C

Substituindo os valores dados:

y C M = 2 ∙ 3 + 1 ∙ 1 + 0 ∙ 1 3 + 1 + 1

y C M = 7 5 = 1,4   m

Portanto, nosso centro de massa se encontra no ponto x C M ,   y C M = ( 2   m ,   1,4   m ) , como mostra a bolinha azul na figura:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x C M ,   y C M = ( 2   m ,   1,4   m )

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