Exercícios Resolvidos de Posição do Centro de Massa

PUC-RIO – 2ª Prova – 2009.1

Considere a molécula d’água H 2 O com seus três átomos distribuídos com localizações fixas de acordo com a figura abaixo, sendo d a distância entre o átomo de Oxigênio ( O ) e um átomo de Hidrogênio ( H ) . Encontre o vetor posição do centro de massa da molécula, em relação à posição do átomo de Oxigênio, em função da distância d .

Sabe-se que θ = 105 o , cos ⁡ 15 o = 0,966 , sen ⁡ 15 o = 0,260 , m O = 16   u m a e m H = 1   u m a (unidades de massa atômica).

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é deixar claro quais são nossos eixos!

Temos que calcular a posição do centro de massa do sistema em relação ao átomo de oxigênio O então O é a nossa origem. O eixo x aponta pra direita e o eixo y aponta pra cima.

Repare que as coordenadas do hidrogênio da direita são ( d , 0 ) . Vou chamá-lo de H 1 , ok?

Mas ainda precisamos achar as coordenadas do outro hidrogênio, o H 2 !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos que θ = 105 o então o ângulo entre o eixo y e o H 2 é 105 o - 90 o = 15 o . Não é à toa que deram pra gente cos ⁡ 15 o = 0,966 e sen ⁡ 15 o = 0,260 no enunciado!

Então queremos as coordenadas x H e y H do átomo de hidrogênio:

Olhando o triângulo formado na esquerda e aplicando trigonometria básica, temos:

x H = d sen ⁡ 15 o

y H = d cos ⁡ 15 o

Mas como o eixo x aponta pra direita, a coordenada x do átomo é - d sen ⁡ 15 o .

Passo 3

Vamos calcular a posição do centro de massa! :D

Recapitulando, as coordenadas dos 3 átomos são ( 0 ,   0 ) pro oxigênio, ( d ,   0 ) para o H 1 e - d sen ⁡ 15 0 ,   d cos ⁡ 15 o para o H 2 .

Vamos começar pela coordenada x do centro de massa:

x C M = m O x O + m H 1 x H 1 + m H 2 x H 2 m O + m H 1 + m H 2

m O = 16 e m H 1 = m H 2 = 1 , então isso dá

x C M = 16 ⋅ 0 + 1 ⋅ d + 1 ⋅ - d sen ⁡ 15 o 16 + 1 + 1

⇒ x C M = d - d sen ⁡ 15 o 18

⇒ x C M = 1 - sen ⁡ 15 o 18 d

Substituindo sen ⁡ 15 o = 0,26   isso dá:

x C M = 0,74 18 d ≈ 0,041 d

Passo 4

Show, agora vamos achar a coordenada y do C M !

y C M = m O y O + m H 1 y H 1 + m H 2 y H 2 m O + m H 1 + m H 2

⇒ y C M = 16 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ d cos ⁡ 15 o 16 + 1 + 1

⇒ y C M = d cos ⁡ 15 o 18

Usando cos ⁡ 15 o = 0,966 temos

y C M = 0,966 18 d ≈ 0,054 d

Então é isso! Sendo i o vetor unitário do eixo x e j o vetor unitário do eixo y , o vetor posição do centro de massa da molécula, em relação à posição do átomo de oxigênio é:

r C M = 1 - sen ⁡ 15 o d 18 i ,     cos ⁡ 15 o d 18 j ≈ 0,041 d i ,   0,054 d j

Resposta

r C M = 1 - sen ⁡ 15 o d 18 i ,     cos ⁡ 15 o d 18 j ≈ 0,041 d i ,   0,054 d j

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas