Exercícios Resolvidos de Posição do Centro de Massa

UFRJ-P2-2015.1- ME3

Uma barra de comprimento 2 L é formada por duas metades, como mostra a figura. A parte da esquerda possui metade da massa da parte da direita, hachurada. Separadamente, as duas partes são homogêneas. Desejamos usar um fio para prender esta barra ao teto. Para que a barra fique em equilíbrio, na posição horizontal, ela deve ser pendurada pelo ponto x   tal que

(a) x = L

(b) x = 7 6   L

(c) x = 3 2 L

(d) x seja qualquer entre 0   e 2 L

(e) x seja qualquer entre L e 2 L

Passo 1

Para que a barra fique em equilíbrio, o fio tem que ser ligado ao centro de massa da barra.

O centro de massa é como se a massa estivesse concentrada naquele ponto. Portanto o peso atua naquele ponto, e para que não haja um torque e a barra rotacione, o fio é preso no centro de massa da barra, se for preso em outro ponto, o peso causará uma rotação na barra.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos achar a posição do CM da barra, e para isso faremos esse cálculo em relação a origem.

O comprimento da metade esquerda da barra é L , e ela é homogênea. Então o centro de massa dessa metade fica em x = L / 2 .

Digamos que a massa dessa metade é m . Então vamos considerar a massa m toda concentrada em x = L / 2 .

Pra outra metade podemos fazer a mesma coisa, a diferença é que a posição do CM é L + 2 L 2 = 3 L / 2 e que a massa é dobro, 2 m .

Sendo assim o nosso sistema da barra final vai ficar desse jeito:

Passo 3

Agora ficou mais fácil de calcular a posição x C M do centro de massa !

Ela é dada por:

x C M = m 1 x C M 1 + m 2 x C M 2 m 1 + m 2

Sendo assim vamos substituir as massas e os centro de massa encontrados para encontrarmos a posição do centro de massa da barra:

x C M = m L 2 + 2 m 3 L 2 m + 2 m

x C M = m L 2 + 6 m L 2 3 m = 7 m L 6 m

x C M = 7 L 6

Sendo assim o fio será colocado na posição 7 L / 6 , vamos desenhar?

Então a resposta é b )

Resposta

Alternativa (b) 7 6 L

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