A massa da folha de compensado é de 20   k g . Qual a localização do centro de massa? Faça um desenho indicando a posição calculada.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a localização do centro de massa do sistema e pra isso nós precisamos determinar suas coordenadas ( x C M ,   y C M ) .

Para encontrar as coordenadas do centro de massa do sistema, temos que lembrar que, em geral, ele é dado pela média ponderada da posição dos objetos no sistema, considerando sua massa. Seria o seguinte:

x C M = x 1 m 1 + x 2 m 2 + x 3 m 3 + … m 1 + m 2 + m 3 + …

y C M = y 1 m 1 + y 2 m 2 + y 3 m 3 + … m 1 + m 2 + m 3 + …

Mas a gente também pode considerar a média em função das áreas A i dos objetos, nos casos em que tenhamos a mesma densidade superficial. Isso vai ser útil pra gente porque vamos dividir nossa folha de compensado em três retângulos e, como sabemos apenas a massa total da folha, vamos considerar a área de cada um desses retângulos no cálculo das coordenadas do centro de massa.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar dividindo nossa figura em três retângulos, que chamaremos de 1 , 2 e 3 e colocando ela no plano cartesiano x y :

Em figuras simétricas, como o retângulo, o centro de massa do sistema se localiza em seus eixos de simetria. Então, no caso do retângulo vamos ter o centro de massa no meio de sua base e altura.

Sendo assim, para o retângulo 1 , de acordo com as coordenadas do plano e os comprimentos mostrados na figura, temos o centro de massa em:

x 1 ,   y 1 = ( 0,5   m ,   2,0   m )

Além disso, como sua altura é igual a 2   m e base igual a 1   m , temos a área A 1 = 2   m 2 . De modo semelhantes, vamos ter no retângulo 2 :

x 2 ,   y 2 = ( 2,5   m ,   2,0   m )

E área A 2 = 2   m 2 . E por fim, para o retângulo 3 , ali deitadinho no plano, temos a área A 3 = 3   m 2 e as coordenadas do centro de massa em:

x 3 ,   y 3 = ( 1,5   m ,   0,5   m )

Passo 3

Agora vamos calcular as coordenadas do centro de massa do sistema, levando em consideração o centro de massa de cada retângulo e suas respectivas áreas. Fica assim:

x C M = x 1 A 1 + x 2 A 2 + x 3 A 3 A 1 + A 2 + A 3

Substituindo as coordenas x e as áreas:

x C M = 0,5 ∙ 2 + 2,5 ∙ 2 + 1,5 ∙ 3 2 + 2 + 3

x C M = 10 , 5 7 = 1,5   m

Agora calculando a coordenada y , vamos ter:

y C M = y 1 A 1 + y 2 A 2 + y 3 A 3 A 1 + A 2 + A 3

Substituindo os valores de y as áreas calculadas:

y C M = 2 ∙ 2 + 2 ∙ 2 + 0 , 5 ∙ 3 2 + 2 + 3

y C M = 9,5 7 = 1 , 36   m

Portanto, o centro de massa da folha de compensado se encontra no ponto x C M ,   y C M = ( 1,5   m ,   1 , 36   m ) , como mostra a figura:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x C M ,   y C M = ( 1,5   m ,   1,36   m )

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