Considere a placa circular de densidade uniforme, de raio 2 R , com um buraco quadrado de lado R , conforme mostrado na figura 4. Em coordenadas de acordo com os eixos x e y da figura, onde está localizado o centro de massa da placa?

(A) x = 0,5 R ; e y = 0

(B) x = - 0,5 R ; e y = 0

(C) x = 0,5 R / 4 π - 1 ; e y = 0

(D) x = 0,5 R / 4 π ; e y = 0

(E) x = 0,5 R / 4 π + 1 ; e y = 0

Passo 1

O enunciado diz que o disco tem densidade uniforme, ou seja, homogênio. Isso é o mesmo que dizer que a massa do disco é uniformemente distribuida.

Então, se o disco não tivesse furo algum, seu centro de massa seria no centro do disco, devido à sua simetria.

Porém, temos um furo quadrado. Então, a massa está mais concentrada do lado direito e seu centro de massa está deslocado também para a direita x C M → p o s i t i v o :

OBS: O disco ainda é simétrico com relação ao eixo x , então seu centro de massa terá coordenada y = 0 .

Mas como calculamos a coordenada x ?

Podemos usar um truque que simplifica nossas contas...

Quando temos uma placa furada, podemos considerar dois objetos que conhecemos a posição do centro de massa e fazer a posição do CM entre eles.

E quem seriam esses dois objetos?

O primeiro seria o disco sem o furo, onde o CM está no centro do disco.

E o segundo seria o furo quaadrado, onde seu CM está no centro do quadrado... porém, sua massa entra na conta como negativa.

Aí a conta seria a seguinte:

x C M = M x d + m q x q M + m q

Passo 2

Vamos começar com as posições x do CM do disco e do quadrado.

Como o centro do disco está na origem, sua coordenada é:

x d = 0

Já o quadrado tem lado R , então seu centro está a uma distância de meio lado R / 2 para a esquerda:

x q = - R 2

Passo 3

Agora, vamos às massas.

A massa do disco sem furo nós chamamos de M .

Vamos calcular a massa do quadrado com relação a esse valor, lembrando que ela será negativa, pois na verdade é uma massa ausente.

Vamos usar uma simples regra de 3 com proporção entre a área do disco e a área do quadrado.

A área do disco é:

A d = π 2 R 2

A d = 4 π R 2

Já a área do quadrado é:

A q = R 2

A q = R 2

Então, a regra de 3 fica assim:

M m q = A d A q

M m q = 4 π R 2 R 2

M m q = 4 π

Então, a massa do quadrado será:

m q = - M 4 π

Passo 4

Agora podemoas aplicar aquela fórmula para calcular o centro de massa do disco mais o furo:

x C M = M x d + m q x q M + m q

x C M = M 0 + - M 4 π - R 2 M + - M 4 π

Calma, essa expressão monstruosa melhora bastante.

Multiplicando as frações de cima e colocando o M em evidência em baixo, temos:

x C M = M R 8 π M 1 - 1 4 π

x C M = M R 8 π M 4 π - 1 4 π

O numerado vezes o inverso do denominador:

x C M = M R 8 π × 1 M 4 π 4 π - 1

Cortando M com M , π com π , e 4 com 8 , temos:

x C M = R 2 × 1 4 π - 1

x C M = R 2 4 π - 1

Ah, último detalhe... aquele 2 dividindo vira 0,5 multiplicando para a resposta ficar igualzinha hahah:

x C M = 0,5 R 4 π - 1

Prontinho, achamos as coordenadas x e y do centro de massa da placa furada:

x C M = 0,5 R / 4 π - 1 y C M = 0

Resposta

Letra (C)

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