Um taco de beisebol tem comprimento L e a densidade linear de massa é dada por λ = λ 0 ( 1 + x 2 / L 2 ) . Localizar a coordenada x do centro de massa em termos de L .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente localizar a coordenada x do centro de massa em termos do comprimento L do taco, sabendo que ele tem uma densidade linear de massa dada por λ = λ 0 ( 1 + x 2 / L 2 ) .

Pra isso, nós precisamos lembrar que a coordenada x C M do centro de massa é calculada em função da densidade linear de acordo com a equação:

x C M = ∫ 0 L λ x d x ∫ 0 L λ d x

Onde L é o comprimento considerado e λ é a densidade linear, que o enunciado nos deu. Então, basta calcular as duas integrais e fazer a relação entre elas.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a integral do denominador, ∫ 0 L λ d x , com λ = λ 0 ( 1 + x 2 / L 2 ) . Fica assim:

∫ 0 L λ d x = ∫ 0 L λ 0 1 + x 2 L 2 d x

Como λ 0 é constante, podemos colocar do lado de fora da integral:

λ 0 ∫ 0 L 1 + x 2 L 2 d x

Além disso, a integral da soma é igual a soma das integrais, então temos:

λ 0 ∫ 0 L 1 d x + ∫ 0 L x 2 L 2 d x

Mas L também é constante, então temos:

λ 0 ∫ 0 L 1 d x + 1 L 2 ∫ 0 L x 2 d x

Agora integrando usando a regra da potência ( ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 ), vamos ter:

λ 0 x 0 L + 1 L 2 x 3 3 0 L

Aplicando os limites de integração:

λ 0 L - 0 + 1 L 2 L 3 3 - 0 3 3

λ 0 L + L 3

= 4 L λ 0 3

Passo 3

Agora vamos calcular a integral do numerador, ∫ 0 L λ x d x , da nossa equação para o centro de massa. Vai ser muito parecido com o passo anterior, a diferença é que a gente tem mais um x ali no integrando. Vamos lá!

∫ 0 L λ x d x = ∫ 0 L λ 0 x 1 + x 2 L 2 d x

= ∫ 0 L λ 0 x + x 3 L 2 d x

Colocando as constantes do lado de fora e separando a integral da soma:

λ 0 ∫ 0 L x + x 3 L 2 d x

λ 0 ∫ 0 L x d x + ∫ 0 L x 3 L 2 d x

λ 0 ∫ 0 L x d x + 1 L 2 ∫ 0 L x 3 d x

Agora integrando usando a regra da potência, temos:

λ 0 x 2 2 0 L + 1 L 2 x 4 4 0 L

Aplicando os limites de integração:

λ 0 L 2 2 - 0 2 2 + 1 L 2 L 4 4 - 0 4 4

λ 0 L 2 2 + L 2 4

= 3 L 2 λ 0 4

Passo 4

Agora substituindo os resultados dos passos 2 e 3 na equação da coordenada do centro de massa:

x C M = ∫ 0 L λ x d x ∫ 0 L λ d x

x C M = 3 L 2 λ 0 4 4 L λ 0 3

Fazendo a divisão de frações:

x C M = 3 L 2 λ 0 4 ∙ 3 4 L λ 0

Simplificando:

x C M = 9 L 16

Encontramos nosso resultado.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

9 L 16

Exercícios de Livros Relacionados

A Fig. 9-35 mostra um sistema de três partículas de massas m 1 = 3,0k g , m 2 = 4,0k g e m 3 = 8,0k g . As escalas do gráfico são definidas por x s = 2,0m e y s = 2,0m . Quais são (a) a coordenada x e
Um pedaço uniforme de folha de metal é moldado conforme mostrado na Figura P8.34. Calcule as coordenadas x e y do centro de massa da folha.
Uma haste de 30,0c m de comprimento tem densidade linear (massa por comprimento) definida por λ=50,0+20,0x em que x é a distância a partir de uma extremidade, medida em metros, e λ expressa g r a m a
Duas partículas de 3,0k g têm velocidades v → 1 = 2,0 m s i ^ + 3,0 m s j ^ e v → 2 = 4,0 m s i ^ - 6,0 m s j ^ . Encontre a velocidade do centro de massa do sistema.
Quatro corpos estão situados ao longo do eixo y da seguinte forma: um de 2,00k g está a + 3,00m , um de 3,00k g está a + 2,50m , o terceiro, de 2,50k g , está na origem, e o quarto, de 4,00k g , está