Exercícios Resolvidos de Posição do Centro de Massa

Três massas puntiformes estão localizadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado L conforme mostra a figura abaixo. Considere as seguintes situações:

1 as três massas são idênticas e 2 m 1 = 2 m   e   m 2 = m 3 = m .

Sejam ( x C M 1 ,   y C M 1 ) e ( x C M 2 ,   y C M 2 ) as coordenadas do centro de massa desse sistema nas situações ( 1 ) e ( 2 ) , respectivamente, no referencial da figura. Sobre as coordenadas do centro de massa, podemos então afirmar que:

a x C M 1 / x C M 2   =   1   e   y C M 1 / y C M 2   =   3 / 4 .  

b x C M 1 / x C M 2   =   1   e   y C M 1     / y C M 2   =   4 / 3 .  

c x C M 1 / x C M 2   =   2   e   y C M 1 / y C M 2   =   4 / 3 .  

d x C M 1 / x C M 2   =   2   e   y C M 1 / y C M 2   =   1 .  

e x C M 1 / x C M 2   =   1   e   y C M 1 / y C M 2   =   5 / 3

Passo 1

Vamos calcular o centro de massa para cada situação, começando pela 1 :

x c m 1 = x m 1 . m + x m 2 . m + x m 3 . m 3 m

x c m 1 = x m 1 + x m 2 + x m 3 3 = L 2 + 0 + L 3 = 3 L 6 = L 2

x c m 1 = L 2

A posição x era fácil por sabermos as posições de cada massa nesse eixo, porém no eixo y , não sabemos a posição das partículas m 2 e m 3 .

Para descobrir essa posição usaremos o teorema de Pitágoras, pois sabemos a hipotenusa L e a base L / 2 falta apenas a altura.

h 2 + L 2 4 = L 2

h = 3 4 L 2 = 3 L 2

Agora que sabemos a altura das partículas, podemos calcular a posição y do centro de massa

y c m 1 = y m 1 . m + y m 2 . m + y m 3 . m 3 m = y m 1 + y m 2 + y m 3 3

y c m 1 = 0 + 3 L 2 + 3 L 2 3

y c m 1 = 3 L 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular a posição do centro de massa para a situação 2 :

x c m 2 = x m 1 . m 1 + x m 2 . m 2 + x m 3 . m 3 m 1 + m 2 + m 3

Nessa situação temos que m 1 = 2 m   e   m 2 = m 3 = m

x c m 2 = x m 1 . 2 m + x m 2 . m + x m 3 . m 4 m = L 2 . 2 + 0 . 1 + L . 1 4 = 2 L 4 = L 2

x c m 2 = L 2

Agora a coordena y :

y c m 2 = y m 1 . m 1 + y m 2 . m 2 + y m 3 . m 3 m 1 + m 2 + m 3 = y m 1 . 2 m + y m 2 . m + y m 3 . m 4 m

y c m 2 = 0 . 2 + 3 L 2 . 1 + 3 L 2 . 1 4

y c m 2 = 3 L 4

Passo 3

Agora faremos as razões entre as posições do centro de massa

x c m 1 x c m 2 = L 2 L 2 = 1

x c m 1 x c m 2 = 1

y c m 1 y c m 2 = 3 L 3 3 L 4 = 1 3 1 4 = 4 3

y c m 1 y c m 2 = 4 3

Sendo assim, a alternativa correta é a b

Resposta

Alternativa b

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