Ache as coordenadas do centro de massa das figuras seguintes. Em ( b ) considere que os fios tem a mesma densidade linear de massa uniforme. Em ( c ) considere que a densidade superficial de massa é uniforme.

Passo 1

Oii, tudo bem com você?

Temos o esquema de três distribuições de massa

precisamos obter as coordenadas do centro de massa de cada uma delas. Na distribuição ( b ) os fios tem distribuição linear de massa e na distribuição ( c ) a figura é uma distribuição homogênea de massa. A primeira situação é um caso direto em que podemos calcular discretamente a coordenada através da relação

r → C M = ∑ i = 1 n m i r → i ∑ i = 1 n m i

Para a segunda situação precisamos utilizar a seguinte relação para as coordenadas

x C M = 1 M ∫ x   d m , y c m = 1 M ∫ y   d m e z C M = 1 M ∫ z d m

que nos dá as coordenadas para cada fio! Mas será que isso nos dá diretamente as coordenadas do sistema como um todo? Pense um pouco sobre isso! Para o última sistema precisamos considerar um sistema em que retiramos parte da massa! Em um quadrado homogêneo, onde normalmente estaria o centro de massa? Consegue adivinhar? Vem comigo!

Passo 2

Começando pela primeira figura, temos que

m 1 = 3   k g , m 2 = 4   k g e m 3 = 8   k g

portanto, temos que

∑ i = 1 3 m i = 15   k g

temos que m 1 está na origem, portanto r 1 → = ( 0,0 ) , também temos observando a figura que r 2 → = ( 2,1 ) e r → 3 = ( 1,2 ) . Portanto, temos que

∑ i = 1 3 m i r i → = 3 ( 0,0 ) + 4 ( 2,1 ) + 8 ( 1,2 ) = ( 16,20 )

Finalmente, podemos escrever que

r C M → = 1 15 ( 16,20 )

Vamos para a próxima agora!

Passo 3

Para todos os três fios podemos escrever que

d m = λ   d l

em que d l pode ser tanto d x ,   d y ou d z . Vamos fazer para o fio que está sobre o eixo x , temos que o seu centro de massa é dado por

x C M = 1 M ∫ 0 1 x λ d x = λ M x 2 2 | 0 1

ou simplesmente

x C M = λ 2 M

Como temos que a distribuição linear é uniforme, podemos dizer que

λ = M Δ x = M

e, portanto, o centro de massa desse fio está em

x C M = 1 2

os outros dois fios são equivalentes, mas trocando x por y e por z , de forma que temos que

y C M = z C M = 1 2

e, sendo assim, como os três têm a mesma massa, a coordenada do centro de massa é dada por

r C M → = ( 1 2 , 1 2 , 1 2 )

Vamos para a última distribuição agora!

Passo 4

Note que a distribuição c ) é um quadrado do qual foi retirado um quadradinho menor. Se o quadrado é homogêneo, o seu centro de massa é no centro! Portanto, originalmente o quadrado completo teria centro de massa em

r → c o m p l e t o = ( 0,0 )

exatamente na origem! No entanto, o quadradinho menor tinha um centro de massa próprio em seu centro dado por

r → q u a d r a d i n h o = ( 2,0 )

quando retiramos um pedaço da massa, o deslocamento do centro de massa pode ser calculado normalmente, mas com um massa “negativa”, ou seja, o novo centro de massa será dado por

r C M → = M t o t a l r → c o m p l e t o - m r e t i r a d o r → q u a d r a d i n h o M t o t a l

Vamos achar essas massas agora!

Passo 5

A distribuição de massa superficial é constante, portanto, temos que

σ = M t o t a l A t o t a l = m r e t i r a d o A q u a d r a d i n h o

Através do gráfico, temos que

A q u a d r a d i n h o = 4   m 2 e A t o t a l = 36   m 2

Portanto, obtemos que

m r e t i r a d o = 1 9 M t o t a l

Substituindo esse resultado na expressão para a coordenada do centro de massa, temos que

r C M → = M t o t a l r → c o m p l e t o - m r e t i r a d o r → q u a d r a d i n h o M t o t a l = M t o t a l ( 0,0 ) - 1 9 M t o t a l ( 2,0 ) M t o t a l

ou simplesmente

r C M → = ( - 2 9 , 0 )

Uff… A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( a ) r C M → = 1 15 ( 16,20 ) ,   ( b )   r C M → = ( 1 2 , 1 2 , 1 2 )   e   ( c ) r C M → = ( - 2 9 , 0 )

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